복소평면 에서의 복소수 z 와 그 켤레복소수 — z 수학 에서 켤레 복소수 (-複素數, 영어 : complex conjugate ) 또는 공액 복소수 (共軶複素數) 또는 복소 켤레 또는 공액 켤레 는 복소수 의 허수부 에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 다시 말해, 편각 에 덧셈 역원 을 취하여 얻는 복소수이다. 복소평면 위에서, 서로 켤레인 두 복소수는 x 축에 의하여 대칭이다. 복소수
z
{\displaystyle z}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
복소수의 켤레 복소수 는 다음과 같이 정의된다.
x
+
i
y
¯
=
x
−
i
y
x
,
y
∈
R
{\displaystyle {\overline {x+iy}}=x-iy\qquad x,y\in \mathbb {R} }
극 형식 으로 쓰면 다음과 같다.
r
e
i
θ
¯
=
r
e
−
i
θ
r
,
θ
∈
R
,
r
≥
0
{\displaystyle {\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }\qquad r,\theta \in \mathbb {R} ,\;r\geq 0}
켤레 복소수의 기호
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
켤레 전치 의 기호
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
물리학 에서 자주 쓰이며, 이 경우 켤레 전치의 기호에는 흔히
A
†
{\displaystyle A^{\dagger }}
항등식 [ 편집 ] 켤레 복소수에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 임의의 복소수
z
,
w
{\displaystyle z,w}
Re
z
=
(
z
+
z
¯
)
/
2
{\displaystyle \operatorname {Re} z=(z+{\bar {z}})/2}
Im
z
=
(
z
−
z
¯
)
/
(
2
i
)
{\displaystyle \operatorname {Im} z=(z-{\bar {z}})/(2i)}
|
z
|
=
z
z
¯
{\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}}
arg
z
=
(
1
/
(
2
i
)
)
ln
z
z
¯
z
≠
0
{\displaystyle \operatorname {arg} z=(1/(2i))\ln {\frac {z}{\bar {z}}}\qquad z\neq 0}
(덧셈 군 자기 준동형 )
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
{\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}
(덧셈 군 자기 준동형 )
z
−
w
¯
=
z
¯
−
w
¯
{\displaystyle {\overline {z-w}}={\bar {z}}-{\bar {w}}}
(체 자기 동형 )
z
w
¯
=
z
¯
w
¯
{\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}}
(체 자기 동형 )
(
z
/
w
)
¯
=
z
¯
/
w
¯
{\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}}
(
C
/
R
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
자기 동형 )
z
¯
=
z
⟺
z
∈
R
{\displaystyle {\bar {z}}=z\iff z\in \mathbb {R} }
(대합 )
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}
(노름 자기 동형 )
|
z
¯
|
=
|
z
|
{\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|}
arg
z
¯
=
−
arg
z
{\displaystyle \operatorname {arg} {\bar {z}}=-\operatorname {arg} z}
Re
z
¯
=
Re
z
{\displaystyle \operatorname {Re} {\bar {z}}=\operatorname {Re} z}
Im
z
¯
=
−
Im
z
{\displaystyle \operatorname {Im} {\bar {z}}=-\operatorname {Im} z}
켤레근 정리 [ 편집 ] 정칙 함수
f
{\displaystyle f}
f
(
R
)
⊆
R
{\displaystyle f(\mathbb {R} )\subseteq \mathbb {R} }
z
{\displaystyle z}
f
(
z
)
¯
=
f
(
z
¯
)
{\displaystyle {\overline {f(z)}}=f({\bar {z}})}
f
(
x
)
∈
R
[
x
]
{\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} [x]}
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle f(z)=0}
f
(
z
¯
)
=
0
{\displaystyle f({\bar {z}})=0}
켤레근 정리 (-根定理, 영어 : complex conjugate root theorem )라고 한다.
체론적 성질 [ 편집 ] 켤레 복소수 함수는 갈루아 군
Gal
(
C
/
R
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}
관련 개념 [ 편집 ] 행렬의 경우 [ 편집 ] 행렬
A
{\displaystyle A}
A
¯
{\displaystyle {\bar {A}}}
로 쓰며, 다음과 같이 정의할 수 있다.
(
A
¯
)
i
j
=
A
i
j
¯
{\displaystyle ({\bar {A}})_{ij}={\overline {A_{ij}}}}
또한, 켤레 전치 는 다음과 같이 정의된다.
A
∗
=
(
A
¯
)
T
=
A
T
¯
{\displaystyle A^{*}=({\bar {A}})^{\operatorname {T} }={\overline {A^{\operatorname {T} }}}}
즉, 다음과 같다.
(
A
∗
)
i
j
=
A
j
i
¯
{\displaystyle (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}}
외부 링크 [ 편집 ] 
![{\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b5c6ca81eb76cae2526471f36e48c6e628139b)
