보르수크-울람 정리

위상수학에서 보르수크-울람 정리(영어: Borsuk–Ulam theorem)는 초구에서 같은 차원의 유클리드 공간으로 가는 연속함수의 경우, 대척점에서의 함수의 값이 일치하는 경우가 항상 존재한다는 정리이다.

정의[편집]

보르수크-울람 정리에 따르면, 임의의 연속함수 $f\colon S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 에 대하여,

f(x)=f(-x)

인 점 $x\in S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ 이 존재한다. 여기서 $-x$ 는 $x$ 의 대척점이다.

이 정리는 스타니스와프 울람이 추측했고, 카롤 보르수크가 1933년 증명했다.^[1]

↑ Borsuk, K. (1933). “Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre”. 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 20: 177–190. JFM 59.0560.01. Zbl 0006.42403.

Matoušek, Jiří (2003). 《Using the Borsuk–Ulam theorem: lectures on topological methods in combinatorics and geometry》. Universitext (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5. Zbl 1234.05002.
Steinlein, H. (1985). 〈Borsuk’s antipodal theorem and its generalizations and applications: a survey〉. 《Méthodes topologiques en analyse non linéaire》. Séminaire de Mathématiques Supérieures. Séminaire Scientifique OTAN (영어) 95. 166–235쪽. Zbl 0573.55003.
Su, Francis Edward (1997년 11월). “Borsuk–Ulam implies Brouwer: a direct construction” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 104 (9): 855–859. doi:10.2307/2975293. JSTOR 2975293. Zbl 0884.54028. 2008년 10월 13일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 10월 2일에 확인함.
Volovikov, Alexey Yu. (2008년 6월). “Borsuk–Ulam implies Brouwer: a direct construction revisited”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 115 (6): 553–556. JSTOR 27642536. Zbl 1158.55004.

“Borsuk fixed-point theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Borsuk-Ulam theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Borsuk-Ulam theorem”. 《Topospaces》 (영어).