변동 소산 정리

변동 소산 정리(영어: Fluctuation–dissipation theorem, FDT) 또는 변동-소산 관계(영어: fluctuation–dissipation relation, FDR)는 상세 평형을 따르는 시스템의 동작을 예측하기 위한 통계물리학의 강력한 도구이다. 시스템이 상세 평형을 따른다면, 이 정리는 물리적 변수(전압, 온도 차이 등)의 열역학적 요동이 동일한 물리적 변수의 어드미턴스 또는 온저항(전자기적 용어뿐만 아니라 일반적인 의미에서)으로 정량화되는 응답을 예측하며 그 반대도 마찬가지라는 증명이다. 변동 소산 정리는 고전물리학과 양자역학 시스템 모두에 적용된다.

변동 소산 정리는 1951년 허버트 칼렌과 시어도어 A. 웰턴에 의해 증명되었고 구보 료고에 의해 확장되었다. 이 일반 정리에는 알베르트 아인슈타인의 브라운 운동 설명 그의 기적의 해 동안과 1928년 해리 나이퀴스트의 전기 저항기에서 발생하는 열잡음 설명을 포함한 선례들이 있다.

정성적 개요 및 예시

변동 소산 정리는 에너지를 소산시켜 열로 바꾸는 과정(예: 마찰)이 있을 때 열적 요동과 관련된 역 과정이 있음을 말한다. 이는 몇 가지 예시를 통해 가장 잘 이해할 수 있다.

항력과 브라운 운동

물체가 유체 속을 움직일 때, 항력(공기 저항 또는 유체 저항)을 받는다. 항력은 운동 에너지를 소산시켜 열로 바꾼다. 상응하는 요동은 브라운 운동이다. 유체 속의 물체는 가만히 있지 않고, 유체 속의 분자들이 부딪히면서 작고 빠르게 변하는 속도로 움직인다. 브라운 운동은 열 에너지를 운동 에너지로 바꾸는데, 이는 항력의 역 과정이다.

저항과 열잡음

저항기가 있는 전선 루프에 전류가 흐르면 저항 때문에 전류는 빠르게 0으로 수렴한다. 저항은 전기 에너지를 소산시켜 열(줄 가열)로 바꾼다. 상응하는 요동은 열잡음이다. 저항기가 있는 전선 루프는 실제로 전류가 0이 아니며, 저항기 내 전자의 열적 요동과 원자들로 인해 작고 빠르게 변동하는 전류가 흐른다. 열잡음은 열 에너지를 전기 에너지로 바꾸는데, 이는 저항의 역 과정이다.

흡광과 열복사

빛이 물체에 부딪히면 빛의 일부가 흡수되어 물체를 뜨겁게 만든다. 이런 방식으로 빛 흡수는 빛 에너지를 열로 바꾼다. 상응하는 요동은 열복사 (예: "빨갛게 달아오른" 물체의 빛)이다. 열복사는 열 에너지를 빛 에너지로 바꾸는데, 이는 빛 흡수의 역 과정이다. 실제로 키르히호프의 복사 법칙은 물체가 빛을 더 효과적으로 흡수할수록 더 많은 열복사를 방출한다는 것을 확인한다.

상세 예시

변동 소산 정리는 통계열역학의 일반적인 결과로, 상세 평형을 따르는 시스템의 요동과 가해진 섭동에 대한 시스템의 반응 사이의 관계를 정량화한다.

브라운 운동

예를 들어 알베르트 아인슈타인은 1905년 브라운 운동에 관한 논문에서 브라운 운동에서 입자의 불규칙한 움직임을 유발하는 동일한 무작위 힘이 입자가 유체를 통해 끌릴 때 항력을 유발할 것이라고 언급했다. 다시 말해, 정지 상태에 있는 입자의 요동은 시스템을 특정 방향으로 섭동시키려고 할 때 작업을 해야 하는 소산적 마찰력과 같은 기원을 가진다.

이 관찰을 통해 아인슈타인은 통계역학을 사용하여 아인슈타인-스몰루초프 관계를 유도할 수 있었다. $$D=\mu \,k_{\text{B}}T,$$ 이 관계는 확산 상수 D와 입자의 종단속도 대 인가된 힘의 비율인 입자 이동도 μ를 연결한다. k_B는 볼츠만 상수이고, T는 절대 온도이다.

저항기의 열잡음

1928년, 존 버트란드 존슨은 열잡음을 발견했고 해리 나이퀴스트가 이를 설명했다. 인가 전류가 없을 때, 평균 제곱 전압은 저항 $R$, $k_{\text{B}}T$, 그리고 전압이 측정되는 대역폭 (신호 처리) $\Delta \nu$에 따라 달라진다. $$\langle V^{2}\rangle \approx 4Rk_{\text{B}}T\,\Delta \nu .$$

이 관찰은 변동 소산 정리의 관점에서 이해될 수 있다. 예를 들어, 저항 $R$과 작은 정전용량 $C$를 가진 축전기로 구성된 간단한 회로를 생각해보자. 키르히호프의 전기회로 법칙에 따르면 $$V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}},$$ 따라서 이 회로의 응답 함수는 $$\chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\omega R}}.$$

저주파 한계 $\omega \ll (RC)^{-1}$에서, 그 허수 부분은 간단하게 $$\operatorname {Im} \left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2},$$ 로 주어지며, 이는 변동 소산 정리를 통해 전압의 전력 스펙트럼 밀도 함수 $S_{V}(\omega )$와 연결될 수 있다. $$S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\text{B}}T}{C^{2}\omega }}\operatorname {Im} \left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\text{B}}T.$$

열잡음 $\langle V^{2}\rangle$은 $\omega =\pm \omega _{0}$를 중심으로 하는 작은 주파수 대역폭 (신호 처리) $\Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )$ 내에서 관찰되었다. 따라서 $$\langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\text{B}}T\Delta \nu .$$

일반적인 공식화

변동 소산 정리는 여러 방식으로 공식화될 수 있지만, 특히 유용한 한 가지 형태는 다음과 같다.

해밀턴 $H_{0}(x)$에 의해 열적 요동을 겪는 동역학계의 관측가능량 $x(t)$을 생각해보자. 관측가능량 $x(t)$는 평균값 $\langle x\rangle _{0}$ 주위로 요동하며, 이 요동은 전력 스펙트럼 $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$으로 특징지어진다. 시간에 따라 변하고 공간적으로 일정한 장 $f(t)$를 켤 수 있다고 가정해보자. 이 장은 해밀턴을 $H(x)=H_{0}(x)-f(t)x$로 변경한다. 시간 의존적 장 $f(t)$에 대한 관측가능량 $x(t)$의 응답은 1차적으로 시스템의 감수율 또는 선형 응답 함수 $\chi (t)$로 특징지어진다. $$\langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\int _{-\infty }^{t}f(\tau )\chi (t-\tau )\,d\tau ,$$ 여기서 섭동은 $\tau =-\infty$에서 단열적으로(매우 느리게) 켜진다.

변동 소산 정리는 $x$의 양측 전력 스펙트럼(즉, 양수 및 음수 주파수 모두)을 감수율 $\chi (t)$의 푸리에 변환 ${\hat {\chi }}(\omega )$의 허수 부분과 관련시킨다. $$S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} {\hat {\chi }}(\omega ),$$ 이는 푸리에 변환 규칙 $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$에 따라 성립한다. 좌변은 $x$의 요동을 설명하며, 우변은 진동장 $f(t)=F\sin(\omega t+\phi )$에 의해 시스템이 흡수한 에너지와 밀접한 관련이 있다. 요동의 스펙트럼은 선형 응답을 나타내는데, 과거의 요동이 그 자체에 대한 선형 응답을 통해 미래의 요동을 유발하기 때문이다.

이것은 정리의 고전적인 형태이다. 양자 요동은 $2k_{\text{B}}T/\omega$를 $\hbar \,\coth(\hbar \omega /2k_{\text{B}}T)$ ( $\hbar \to 0$일 때의 극한은 $2k_{\text{B}}T/\omega$이다)로 대체함으로써 고려된다. 증명은 양자장론의 항등식인 LSZ 환원을 통해 찾을 수 있다.

변동 소산 정리는 공간 의존적 장의 경우, 여러 변수의 경우 또는 양자 역학 설정의 경우로 직접적으로 일반화될 수 있다.

유도

고전적 버전

위에서 주어진 형태의 변동 소산 정리를 동일한 표기법을 사용하여 유도한다. 다음 테스트 경우를 고려한다. 장 f는 무한한 시간 동안 켜져 있다가 t = 0에서 꺼진다.

$$f(t)=f_{0}\theta (-t),$$ 여기서 $\theta (t)$는 헤비사이드 함수이다. x의 기댓값은 확률 분포 W(x,0)와 전이 확률 $P(x',t|x,0)$로 표현할 수 있다.

$$\langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).$$

확률 분포 함수 W(x,0)는 평형 분포이므로 해밀턴 $H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}$에 대한 볼츠만 분포로 주어진다.

$$W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\,,$$ 여기서 $\beta ^{-1}=k_{\text{B}}T$이다. 약한 장 $\beta xf_{0}\ll 1$에 대해 우변을 전개할 수 있다.

$$W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x-\langle x\rangle _{0})],$$

여기서 $W_{0}(x)$는 장이 없을 때의 평형 분포이다. 이 근사값을 $\langle x(t)\rangle$ 공식에 대입하면 다음과 같다.

$$\langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\beta f_{0}A(t),$$

(1)

여기서 A(t)는 장이 없을 때의 x의 자기상관 함수이다.

$$A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.$$

장이 없을 때 시스템은 시간 이동에 대해 불변하다는 점에 유의한다. $\langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}$를 시스템의 감수율을 사용하여 다시 쓸 수 있으며, 위의 틀:EqNote을 통해 다음과 같이 얻는다.

$$f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)$$

결과적으로,

$$-\chi (t)=\beta {dA(t) \over dt}\theta (t).$$

(2)

주파수 의존성에 대한 설명을 하려면 틀:EqNote의 푸리에 변환을 취해야 한다. 부분 적분을 통해 다음을 보일 수 있다. $$-{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int _{0}^{\infty }e^{-i\omega t}A(t)\,dt-\beta A(0).$$

$A(t)$가 실수이고 대칭이므로 다음이 성립한다. $$2\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=-\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).$$

마지막으로, 정상 과정의 경우, 위너-힌친 정리는 양측 스펙트럼 밀도가 자기상관 함수의 푸리에 변환과 같다고 명시한다. $$S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).$$

따라서 다음이 성립한다. $$S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].$$

양자 버전

변동 소산 정리는 관심 관측가능량 $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$의 상관 함수(요동 측정)를 주파수 영역에서 응답 함수 ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i$의 허수 부분(소산 측정)과 관련시킨다. 이 양들 사이의 연결은 소위 구보 공식을 통해 찾을 수 있다.

$$\chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle$$

이는 선형 응답 이론의 가정 하에, 섭동 소스가 있을 때 관측가능량 $\langle {\hat {x}}(t)\rangle$의 앙상블 평균의 시간 진화에서 파생된다. 푸리에 변환되면 구보 공식은 응답 함수의 허수 부분을 다음과 같이 쓸 수 있게 한다.

$${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.$$

바른틀 앙상블에서 두 번째 항은 다음과 같이 다시 표현될 수 있다.

$$\langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)=\operatorname {Tr} {\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0)=\operatorname {Tr} e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(t-i\hbar \beta )}{\hat {x}}(0)=\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle$$

여기서 두 번째 등호에서는 연산자들의 순환 특성을 사용하여 ${\hat {x}}(t)$의 위치를 재조정했다. 다음으로, 세 번째 등호에서는 $e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}$를 트레이스 옆에 삽입하고 $e^{-\beta {\hat {H}}}$를 허수 시간 간격 $\Delta t=-i\hbar \beta$을 가진 시간 진화 연산자 $e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}$로 해석했다. 허수 시간 이동은 푸리에 변환 후 $e^{-\beta \hbar \omega }$ 인자로 바뀐다.

$$\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt$$

따라서 ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]$에 대한 표현은 양자 변동-소산 관계로 쉽게 다시 쓸 수 있다.

$$S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\text{BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]$$

여기서 전력 스펙트럼 밀도 $S_{x}(\omega )$는 자기상관 $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$의 푸리에 변환이며 $n_{\text{BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}$는 보스-아인슈타인 분포 함수이다. 동일한 계산은 또한 다음을 산출한다.

$$S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\text{BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )$$

따라서 고전적인 경우와는 달리, 양자 극한에서 전력 스펙트럼 밀도는 정확히 주파수 대칭이 아니다. 일관성 있게, $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$는 연산자의 교환 규칙에서 발생하는 허수 부분을 가진다. 양수 주파수에서 $S_{x}(\omega )$ 표현의 추가 "$+1$" 항은 자연방출과 관련되어 있다고 생각할 수도 있다. 자주 인용되는 결과는 대칭화된 전력 스펙트럼 밀도이다.

$${\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\text{BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].$$

"$+1/2$"는 양자 요동 또는 관측가능량 ${\hat {x}}$의 영점 운동과 관련되어 있다고 생각할 수 있다. 충분히 높은 온도에서, $n_{\text{BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1$, 즉 양자 기여는 무시할 수 있으며, 고전적 버전을 회복한다.

유리 시스템에서의 위반

변동 소산 정리는 상세 평형을 따르는 시스템의 응답 사이에 일반적인 관계를 제공하지만, 상세 평형이 위반될 때는 요동과 소산의 비교가 더 복잡하다. 소위 유리 전이 온도 $T_{\text{g}}$ 아래에서 유리 시스템은 평형 상태에 있지 않으며, 서서히 평형 상태에 접근한다. 이러한 평형에 대한 느린 접근은 상세 평형의 위반과 동의어이다. 따라서 이러한 시스템은 평형으로 천천히 이동하는 동안 연구하기 위해 긴 시간 척도가 필요하다.

유리 시스템, 특히 스핀 유리에서 변동-소산 관계의 위반을 연구하기 위해 연구자들은 슈퍼컴퓨터를 사용하여 3차원 에드워즈-앤더슨 모형으로 기술되는 거시적 시스템(즉, 상관 길이보다 큰 시스템)에 대한 수치 시뮬레이션을 수행했다. 시뮬레이션에서 시스템은 처음에 고온에서 준비된 다음 유리 온도 $T_{\text{g}}$ 아래의 온도 $T=0.64T_{\text{g}}$로 급속 냉각되고 자기장 $H$ 하에서 매우 긴 시간 $t_{\text{w}}$ 동안 평형에 도달하도록 방치된다. 그런 다음, 나중 시간 $t+t_{\text{w}}$에 두 가지 동역학적 관측가능량인 응답 함수 $$\chi (t+t_{\text{w}},t_{\text{w}})\equiv \left.{\frac {\partial m(t+t_{\text{w}})}{\partial H}}\right|_{H=0}$$ 과 스핀-시간 상관 함수 $$C(t+t_{\text{w}},t_{\text{w}})\equiv {\frac {1}{V}}\left.\sum _{x}\langle S_{x}(t_{\text{w}})S_{x}(t+t_{\text{w}})\rangle \right|_{H=0}$$ 를 측정한다. 여기서 $S_{x}=\pm 1$는 부피 $V$의 정육면체 격자 노드 $x$에 있는 스핀이고, ${\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }$는 자화 밀도이다. 이 시스템에서 변동-소산 관계는 이러한 관측가능량을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. $$T\chi (t+t_{\text{w}},t_{\text{w}})=1-C(t+t_{\text{w}},t_{\text{w}})$$

그들의 결과는 시스템이 더 오랜 시간 동안 평형에 도달할수록 변동-소산 관계가 더 잘 만족된다는 예상을 확인한다.

1990년대 중반, 스핀 유리 모델의 동역학 연구에서 변동 소산 정리의 일반화가 발견되었다. 이는 점근적 비정상 상태에 적용되며, 평형 관계에 나타나는 온도가 시간 척도에 대해 비자명하게 의존하는 유효 온도로 대체된다. 이 관계는 처음 발견된 모델을 넘어선 유리 시스템에서도 성립한다고 제안된다.

비평형 환경

구동되거나 활성 상태의 환경에 약하게 결합된 느린 탐침의 경우, 환원된 동역학은 마찰항과 잡음항을 포함하지만, 이들은 표준적인 제2종 변동-소산 관계에 의해 관련되지 않는다. 마찰은 환경의 경로-공간 작용이 분할됨에 따라 엔트로피적 기여와 프레네시적 기여의 두 가지로 분해될 수 있다. 변동-소산 정리(아인슈타인 관계로도 알려져 있음)의 위반은 비평형 환경에서 전형적인 마찰의 엔트로피적 부분과 프레네시적 부분 사이의 불균형 때문이다.

제1종 변동-소산 관계의 수정된 형태(비평형 응답 관계를 산출)에 대해서는 선형 응답 함수를 참조한다.

비평형 구동 시스템

전자기장이나 기계적 전단 흐름과 같은 외부 구동력에 노출된 시스템에서는 환경의 통계가 구동장에 의해 영향을 받기 때문에 표준 변동-소산 정리가 수정된다. 결과적으로, 열 잡음이 편향되고 변동-소산 관계는 본질적으로 비마르코프적이 되며, 일반적으로 외부 장의 시간 자기상관과 관련된 기억을 가진다(시간 의존적 외부 구동의 경우). 이러한 수정된 변동-소산 관계는 열 환경과 상호작용하는 입자에 대한 칼데이라-레겟 해밀토니안에서 유도될 수 있으며, 여기서 입자와 환경 모두 외부 장에 반응한다.

같이 보기

• 비평형열역학
• 그린-구보 관계
• 온사거 역관계
• 에너지 등분배법칙
• 볼츠만 분포
• 소산계
• 프레네시

각주

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외부 링크

• Audio recording of a lecture by Prof. E. W. Carlson of Purdue University
• 구보의 유명한 글: 변동-소산 정리
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