번스타인 상수

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이진수 0.01000111101110010011000000110011…
십진수 0.280169499…
십육진수 0.47B930338AAD…
연(속)분수

번스타인 상수(영어: Bernstein constant)는 1914년 번스타인이 자신의 논문에서 언급한 상수이다. 일반적으로 그리스 문자 베타 ()로 표시되며 대략 와 같다.[1][2]

정의[편집]

에 대한 최상의 평균 근사의 오차를 나타낸다.

1914년에 유명한 러시아의 수학자 번스타인은 에 대한 양의 상수의 존재를 확립했다. 번스타인은 또한 에대한 상한 및 하한을 에서 결정했다.[3]

는 차수이하의 실수 다항식에 의해 구간 에서 실제 함수 에 대한 최적의 균등 근사 오차라고하자.[4]

에서 번스타인은 한계값,

번스타인 상수 ( Bernstein 's constant )가 존재하며 사이에 존재한다고 추측했다.[4]

번스타인이 제안한 한계값은 다음과 같다.[4]

1984년 바르가와 카펜터에 의해 반증되었는데, 수정된 번스타인 상수의 한계값은 다음과 같다.[4][5]

보다 엄격한 상한선과 하한선을 결정하면,[6]

계수[편집]

상한계수

번스타인 상수의 상한계수는 다음과 같다.

폴리감마 함수추정량 노름 구간
하한계수

번스타인 상수의 하한계수는 다음과 같다.

상한

함께보기[편집]

각주[편집]

  1. SORIN G, GAL (2016년 2월 22일). “ON THE BERNSTEIN’S CONSTANT IN CONVEX APPROXIMATION” (PDF). 《Open Problems in Mathematics》 3: 1-3. 
  2. Bernstein, S. N. (1914), “Sur la meilleure approximation de x par des polynomes de degrés donnés”, 《Acta Math.》 37: 1–57, doi:10.1007/BF02401828 
  3. Varga, Richard S.; Carpenter, Amos J. (1985년 12월). “On the bernstein conjecture in approximation theory”. 《Constructive Approximation》 1 (1): 333-348. doi:10.1007/BF01890040. 
  4. http://mathworld.wolfram.com/BernsteinsConstant.html
  5. Varga, Richard S.; Carpenter, Amos J. (1987), “A conjecture of S. Bernstein in approximation theory”, 《Math. USSR Sbornik》 57 (2): 547–560, MR 0842399, doi:10.1070/SM1987v057n02ABEH003086 
  6. http://www.mathnet.ru/links/175d10936abf1e059a1c38f893b4fa60/sm1844.pdf , Richard S. Varga and Amos J. Carpenter, On the Bernstein conjecture in approximation theory, Const. Approx. 1 (1985), 333-348. MR 87g:41066. MR 88f:41030. Zbl. 648.41013. (http://www.math.kent.edu/~varga/pub/paper_150.pdf)