백하우스 상수

백하우스 상수(Backhouse's constant)는 나이젤 백하우스(Nigel Backhouse)의 이름을 딴 수학 상수다.

정의[편집]

백하우스 상수를 정의하기 위해서는 우선 연속항의 계수가 소수(prime number)인 멱급수(power series) $P(x)$ 를 정의한다.

P(x)=1+\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}x^{k}=1+2x+3x^{2}+5x^{3}+7x^{4}+\cdots

그 다음 $P(x)$ 의 역수를 형식적 멱급수로 표현한다.

Q(x)={\frac {1}{P(x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}x^{k}

그러면 $Q(x)$ 의 계수들 사이에 다음 식이 성립한다.

\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {q_{k+1}}{q_{k}}}\right\vert =1.45607\ldots

(OEIS의 수열 A072508)

위의 극한값은 백하우스(Backhouse, 1995)에 의해 존재할 것으로 추측되었으며, 이 추측은 필립 플라졸렛(Philippe Flajolet, 1995)에 의해 증명되었다.

Backhouse, N. (1995), 《Formal reciprocal of a prime power series》, unpublished note
Flajolet, Philippe (1995년 11월 25일), 《On the existence and the computation of Backhouse's constant》, Unpublished manuscript . Reproduced in Les cahiers de Philippe Flajolet, Hsien-Kuei Hwang, June 19, 2014, accessed 2014-12-06.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Backhouse's Constant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
A030018, A074269, A088751