시그마 콤팩트 공간

일반위상수학에서 시그마 콤팩트 공간(σ-compact空間, 영어: sigma-compact space)은 콤팩트 공간의 개념의 여러 변형 가운데 하나이다.

정의

시그마 콤팩트 공간

위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시키면, 시그마 콤팩트 공간이라고 한다.

• 가산 개의 콤팩트 집합들의 합집합이다. 즉, $\textstyle X=\bigcup _{i=0}^{\infty }K_{i}$인 콤팩트 집합의 열 $K_{0},K_{1},\dots \subseteq X$가 존재한다.

혹자는 시그마 콤팩트 공간의 정의에 국소 콤팩트 공간 조건을 추가로 가정한다.^:289

반콤팩트 공간

위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시키면, 반콤팩트 공간이라고 한다.

• 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K_{0},K_{1},\dots \subseteq X$가 존재한다.
  • 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$에 대하여, $K\subseteq K_{i}$인 자연수 $i\in \mathbb {N}$이 존재한다.

즉, 반콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간에서 “점”을 “콤팩트 집합”으로 대체한 개념이다.

성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이다.

증명:

국소 콤팩트 린델뢰프 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 국소 콤팩트 조건에 따라,

$U_{i}\subseteq K_{i}\qquad (\forall i\in I)$

인 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$ 및 콤팩트 집합들의 집합족 $(K_{i})_{i\in I}$가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라, $(U_{i})_{i\in I}$의 가산 부분 덮개 $\{i_{0},i_{1},\dots \}\subseteq I$를 잡자. 이제,

$C_{n}=K_{i_{0}}\cup \cdots \cup K_{i_{n}}\qquad (n\in \mathbb {N} )$

은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$는 $\{U_{i_{0}},U_{i_{1}},\dots \}$의 유한 개 원소의 합집합에 포함되므로, 어떤 $C_{n}$에 포함된다. 즉, $X$는 반콤팩트 공간이다.

모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다.

증명:

귀류법을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간 $X$가 국소 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K_{0},K_{1},\dots \subseteq X$을 잡자.

• 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$에 대하여, $K\subseteq K_{i}$인 자연수 $i\in \mathbb {N}$이 존재한다.

귀류법의 가정에 따라, 콤팩트 근방이 존재하지 않는 점 $x\in X$를 잡자. 제1 가산성에 따라, $x$의 가산 국소 기저

$U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq \cdots$

를 잡자. 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 $x_{n}\not \in U_{n}\setminus K_{n}$을 고르자. 그렇다면,

$K=\{x\}\cup \{x_{0},x_{1},\dots \}$

는 콤팩트 집합이지만, 어떤 $K_{n}$에도 포함되지 않으며, 이는 모순이다.

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다.^{:126, Exercise 17I.3} 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 무한 개의 경우 두 명제 모두 성립하지 않는다.

증명:

만약

$X=\bigcup _{i=0}^{\infty }X_{i}$

$Y=\bigcup _{i=0}^{\infty }Y_{i}$

이며, $X_{i},Y_{i}$가 콤팩트 집합이라면,

$X\times Y=\bigcup _{i=0}^{\infty }\bigcup _{j=0}^{\infty }X_{i}\times Y_{j}$

이며, $X_{i}\times Y_{j}$는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합 $A\subseteq X$, $B\subseteq Y$에 대하여, $A\subseteq X_{i_{A}}$, $B\subseteq Y_{j_{B}}$인 $i_{A},j_{B}\in \mathbb {N}$이 존재하며,

$p\colon X\times Y\to X$

$q\colon X\times Y\to Y$

가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X\times Y$에 대하여,

$K\subseteq p(K)\times q(K)\subseteq X_{i_{p(K)}}\times Y_{j_{q(K)}}$

이다.

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.^:316

예

가산 무한 이산 공간 $\mathbb {N}$은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간 $\mathbb {N} ^{\aleph _{0}}$은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.^{:126, Exercise 17I.3}

증명:

곱공간을 $\mathbb {N} ^{\omega }$로 적고, 사영 함수들을

$p_{i}\colon \mathbb {N} ^{\omega }\to \mathbb {N} \qquad (i<\omega )$

로 적자. 임의의 콤팩트 집합의 열

$K_{0},K_{1},\dots \subseteq \mathbb {N} ^{\omega }$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $p_{i}(K_{j})$는 $\mathbb {N}$의 콤팩트 집합이므로, 유한 집합이다. 이제, 임의의 $i<\omega$에 대하여

$n_{i}\in \mathbb {N} \setminus p_{i}(K_{i})$

를 잡자. 그렇다면,

$(n_{i})_{i<\omega }\not \in K_{0}\cup K_{1}\cup \cdots$

이므로, $\mathbb {N} ^{\omega }$는 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

증명:

만약 조르겐프라이 직선이 시그마 콤팩트 공간이라면, 조르겐프라이 평면 역시 시그마 콤팩트 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 이는 모순이다.

유리수 집합 $\mathbb {Q}$는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다.

증명:

이는 $\mathbb {Q}$가 제1 가산 공간이지만, 국소 콤팩트 공간이 아니기 때문이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sigma-compact topological space” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Sigma-compact topological space” (영어). 《nLab》. 
• “Hemicompact space” (영어). 《nLab》. 
• “Sigma-compact space” (영어). 《Topospaces》. 
• “Hemicompact space” (영어). 《Topospaces》. 
• “σ-compact” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Hemicompact space” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Definition: sigma-compact space” (영어). 《ProofWiki》. 
• “σ-compact” (영어). 《Encyclopedia of Compactness Wiki》. 2024년 7월 22일에 확인함. 
• “Hemicompact” (영어). 《Encyclopedia of Compactness Wiki》. 2024년 7월 22일에 확인함.