수학 에서
집합
X
{\displaystyle X}
이항관계
R
{\displaystyle R}
반대칭관계 (反對稱關係, antisymmetric relation)라 함은
a
R
b
{\displaystyle aRb}
b
R
a
{\displaystyle bRa}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
∀
a
,
b
∈
X
,
a
R
b
∧
b
R
a
⇒
a
=
b
{\displaystyle \forall a,b\in X,aRb\land bRa\Rightarrow a=b}
예를 들어 aRb가 'a 는 b 와 관계가 있다'라는 이항관계이면 R 은 대칭관계 이지만. 반대칭관계는 아니다. 그러나 R 을 '작거나 같다'로 정의하면 이것은 반대칭관계이다.
반대칭관계와 대칭관계 [ 편집 ] 반대칭관계를 '대칭관계의 반대'로 혼동하기 쉬운데, 이것은 사실이 아니다. 어떤 이항연산 R 은 다음과 같은 네 가지 모든 경우에 해당할 수 있다.
반대칭관계이며 대칭관계인 경우: R 이 같다 를 나타내는 경우.
반대칭관계이지만 대칭관계는 아닌 경우: R 이 작거나 같다 라고 하자.
a
≤
b
{\displaystyle \scriptstyle a\leq b}
b
≤
a
{\displaystyle \scriptstyle b\leq a}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
R 은 반대칭관계이다.그러나
a
≤
b
{\displaystyle \scriptstyle a\leq b}
b
≤
a
{\displaystyle \scriptstyle b\leq a}
반대칭관계는 아니지만 대칭관계인 경우: R 이 "n" 을 법(法, modulus)으로 하는 합동(合同, congruent) 이라고 하자.
a
≡
b
(
mod
n
)
{\displaystyle \scriptstyle a\equiv b\!\!\!\!{\pmod {n}}}
b
≡
a
(
mod
n
)
{\displaystyle \scriptstyle b\equiv a\!\!\!\!{\pmod {n}}\ }
그러나 반대칭관계는 아니라는 것은 다음 반례에서 확인할 수 있다. (반례:
3
≡
7
(
mod
4
)
{\displaystyle \scriptstyle 3\equiv 7\!\!\!\!{\pmod {4}}}
7
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle \scriptstyle 7\equiv 3\!\!\!\!{\pmod {4}}}
반대칭관계도 아니고 대칭관계도 아닌 경우:
a
R
b
{\displaystyle aRb}
정수
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
나눈다 라고 하자.
a
|
b
{\displaystyle a|b}
b
|
a
{\displaystyle b|a}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
마찬가지로,
a
|
b
{\displaystyle a|b}
b
|
a
{\displaystyle b|a}
비대칭관계 [ 편집 ] 반대칭관계는 비대칭관계 (非對稱關係, asymmetric relation)와 혼동하기 쉬운데, 이 두 개념은 엄밀히 다른 개념이다. 비대칭관계는 집합
X
{\displaystyle X}
이항관계
R
{\displaystyle R}
a
R
b
{\displaystyle aRb}
b
R
a
{\displaystyle bRa}
∀
a
,
b
∈
X
,
a
R
b
⇒
¬
(
b
R
a
)
{\displaystyle \forall a,b\in X,aRb\Rightarrow \lnot (bRa)}
이항관계 R 이 비대칭관계라는 것은 R이 반대칭관계이고 비반사관계라는 것과 동치이다.
