바젤 문제

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

바젤 문제(영어: Basel Problem)는 1650년 이탈리아의 수학자 피에트로 멩골리(이탈리아어: Pietro Mengoli)에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다.

이 문제는 제안된 이후 80여년 동안 많은 수학자들이 도전했지만 풀 수 없었던 난제였다. '바젤 문제'라는 이름은 이 문제를 수학계에 널리 알린 야코프 베르누이가 재직하던 스위스 바젤시의 바젤 대학에서 유래된 것이다.

레온하르트 오일러는 1735년에 이 급수가 로 수렴함을 증명하였다.[1] 그러나 그의 초기 증명은 엄밀하지 못하였으며, 그는 1741년에 더욱 엄밀한 증명을 발표하였다.

오일러의 풀이[편집]

오일러는 다음과 같은 과정을 통해 바젤 문제의 무한 급수의 수렴값임을 도출해 내었다.

원래의 풀이는 엄밀하지 못한 방법이었으나, 약 100년 후 카를 바이어슈트라스바이어슈트라스 곱 정리를 통해 오일러의 증명이 타당함을 보였다.

먼저, 사인 함수의 테일러 급수를 생각하면

가 이 방정식의 이 되므로

는 적당한 상수 에 대하여 바이어슈트라스의 곱정리에 따라 다음과 같이 인수분해할 수 있다. (오일러는 이 부분에서 엄밀하지 못한 가정을 사용하였다.)

여기서 양변에 극한을 취함으로써 의 값을 알 수 있다.

이제 우리는 에 관한 두 개의 식을 이용해 다음과 같은 항등식을 도출할 수 있다.

위 식에서 이차항을 비교하면

적절한 변형을 통해 우리가 원하는 결론을 얻을 수 있다.

오일러의 접근법을 이용한 바젤 문제의 일반화[편집]

위에서 구한 에서 차 항을 비교하면 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다. (단, 베르누이 수)

좌변을 리만 제타 함수로 나타내면 0 이상의 짝수의 함수값을 구할 수 있다.

리만 제타 함수와의 관계[편집]

오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 리만 제타 함수로 일반화하여 모든 0 이상의 짝수에 대하여 수렴값을 닫힌 형식으로 구할 수 있는 방법을 제시하였다.

오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.

따라서 제타 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있으며 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 오일러의 바젤문제 증명 Archived 2007년 10월 27일 - 웨이백 머신, Ed Sandifer, Western Connecticut State University

참고 문헌[편집]

  • 베유, 앙드레 (1983), 《Number Theory: An Approach Through History》 (영어), Springer-Verlag, ISBN 0-8176-3141-0 .
  • Dunham, William (1999), 《Euler: The Master of Us All》 (영어), Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-328-0 .
  • Derbyshire, John (2003), 《Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics》 (영어), Joseph Henry Press, ISBN 0-309-08549-7 .
  • Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (1998), 《Proofs from THE BOOK》 (영어), Berlin, New York: Springer-Verlag 
  • Edwards, Harold M. (2001), 《Riemann's Zeta Function》 (영어), Dover, ISBN 0-486-41740-9 .

외부 링크[편집]