바젤 문제

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바젤 문제스위스 바젤시의 바젤 대학에 재직하던 야코프 베르누이요한 베르누이에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다.


\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} =
1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots.

레온하르트 오일러는 1735년에 이 급수가 \frac{\pi^2}{6} 로 수렴함을 증명하였다.[1] 그러나 그의 초기 증명은 엄밀하지 못하였으며, 그는 1741년에 더욱 엄밀한 증명을 발표하였다.

초등적인 증명[편집]

1821년 오귀스탱 루이 코시는 다음과 같은 초등적인 급수의 증명법을 발표하였다. 이 급수의 수렴값을 구하는 증명에는 오일러의 테일러 급수를 통한 증명이나, 푸리에 급수정적분을 이용한 증명 등 여러가지가 있으나 코시의 증명은 미적분학을 사용하지 않는다는 점에서 가장 널리 알려진 초등적인 증명법이다.

x 가 구간 (0,\frac{\pi}{2}) 내의 실수라 하고, n 을 양의 홀수라 하자. 드무아브르의 공식에 의하여,

\begin{align}
  \frac{\cos (nx) + i \sin (nx)}{(\sin x)^n} &= \frac{(\cos x + i\sin x)^n}{(\sin x)^n} \\
                                             &= \left(\frac{\cos x + i \sin x}{\sin x}\right)^n \\
                                             &= (\cot x + i)^n.
\end{align}

이항 정리를 사용하면,

\begin{align}
  (\cot x + i)^n &= {_{n}C_{0}} \cot^n x + {_{n}C_{1}} (\cot^{n - 1} x)i + \cdots + {_{n}C_{n-1}} (\cot x)i^{n - 1} + {_{n}C_{n}} i^n \\
                 &= \left[ {_{n}C_{0}} \cot^n x - {_{n}C_{2}} \cot^{n - 2} x \pm \cdots \right] \; + \; i\left[ {_{n}C_{1}} \cot^{n-1} x - {_{n}C_{3}} \cot^{n - 3} x \pm \cdots \right].
\end{align}

위에서 허수부를 살펴보면 다음을 알 수 있다.

\frac{\sin (nx)}{(\sin x)^n} = \left[ {_{n}C_{1}} \cot^{n - 1} x - {_{n}C_{3}} \cot^{n - 3} x \pm \cdots \right].

이제 n = 2m + 1\, 이라 두고 r=1, 2, \ldots, m 에 대하여 수열을 다음과 같이 정의하자 x_r = \frac{r\pi}{2m + 1}. 이때 nx_r\,\pi\, 의 정수배이므로, 사인 함수의 영점이다. 즉,

0 = {_{2m+1}C_{1}} \cot^{2m} x_r - {_{2m+1}C_{3}} \cot^{2m - 2} x_r \pm \cdots + (-1)^m{_{2m+1}C_{2m+1}}

x_1, \ldots, x_m 은 구간 (0,\frac{\pi}{2}) 내의 서로 다른 수이고, 함수 \cot^2 x \, 은 이 구간 내에서 일대일대응 함수이므로, \cot^2 x_1, \ldots, \cot^2 x_m 도 서로 다른 수이다.

이제 수열을 다음과 같이 정의하자. t_{r} = \cot^2 x_{r}. 그러면 수열 x_{r}은 다음 m차함수 p(t)의 영점이다.

p(t) := {_{2m+1}C_{1}}t^m - {_{2m+1}C_{3}}t^{m - 1} \pm \cdots + (-1)^m{_{2m+1}C_{2m+1}}.

근과 계수의 관계에 의하여, 방정식 p(t)=0의 모든 근의 합을 구하면,

t_1 + t_2 + \cdots + t_m = \cot ^2 x_1 + \cot ^2 x_2 + \cdots + \cot ^2 x_m = \frac{\binom{2m + 1}3} {\binom{2m + 1}1} = \frac{2m(2m - 1)}6.

\csc^2x = \cot^2x + 1\, 이므로,

\csc ^2 x_1 + \csc ^2 x_2 + \cdots + \csc ^2 x_m = \frac{2m(2m - 1)}6 + m = \frac{2m(2m + 2)}6.

구간 (0,\frac{\pi}{2}) 내에서 부등식 \cot^2x<\frac{1}{x^2}<\csc^2x이 성립하므로,

\frac{2m(2m - 1)}6 < \left(\frac{2m + 1}{\pi} \right)^2 + \left(\frac{2m + 1}{2\pi} \right)^2 + \cdots + \left(\frac{2m + 1}{m \pi} \right)^2 < \frac{2m(2m + 2)}6.

\frac{\pi}{2m+1} ^{2}을 곱하자. 그러면

\frac{\pi ^2}{6}\left(\frac{2m}{2m + 1}\right)\left(\frac{2m - 1}{2m + 1}\right) < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{m^2} < \frac{\pi ^2}{6}\left(\frac{2m}{2m + 1}\right)\left(\frac{2m + 2}{2m + 1}\right).

이제, m이 무한대로 가는 극한을 취하자. 좌변과 우변의 극한값은 \frac{\pi^2}{6}\, 이므로, 샌드위치 정리에 의하여,

\zeta(2) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} =
  \lim_{m \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{m^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}

리만 제타 함수와의 관계[편집]

오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 리만 제타 함수로 일반화하였으며 모든 0 이상의 짝수에 대하여 수렴값을 닫힌 형식으로 구할 수 있는 방법을 제시하였다.


\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s}\cdots.

오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.


\zeta(s) =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}=
\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots

따라서 제타함수는 다음과 같이 표기 될 수 있으며 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 오일러의 바젤문제 증명, Ed Sandifer, Western Connecticut State University

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]