바젤 문제

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바젤 문제스위스 바젤시의 바젤 대학에 재직하던 야코프 베르누이요한 베르누이에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다.

레온하르트 오일러는 1735년에 이 급수가 로 수렴함을 증명하였다.[1] 그러나 그의 초기 증명은 엄밀하지 못하였으며, 그는 1741년에 더욱 엄밀한 증명을 발표하였다.

초등적인 증명[편집]

1821년 오귀스탱 루이 코시는 다음과 같은 초등적인 급수의 증명법을 발표하였다. 이 급수의 수렴값을 구하는 증명에는 오일러의 테일러 급수를 통한 증명이나, 푸리에 급수정적분을 이용한 증명 등 여러가지가 있으나 코시의 증명은 미적분학을 사용하지 않는다는 점에서 가장 널리 알려진 초등적인 증명법이다.

가 구간 내의 실수라 하고, 을 양의 홀수라 하자. 드무아브르의 공식에 의하여,

이항 정리를 사용하면,

위에서 허수부를 살펴보면 다음을 알 수 있다.

이제 이라 두고 에 대하여 수열을 다음과 같이 정의하자 . 이때 의 정수배이므로, 사인 함수의 영점이다. 즉,

은 구간 내의 서로 다른 수이고, 함수 은 이 구간 내에서 일대일대응 함수이므로, 도 서로 다른 수이다.

이제 수열을 다음과 같이 정의하자. . 그러면 수열 은 다음 차함수 의 영점이다.

근과 계수의 관계에 의하여, 방정식 의 모든 근의 합을 구하면,

이므로,

구간 내에서 부등식 이 성립하므로,

을 곱하자. 그러면

이제, 이 무한대로 가는 극한을 취하자. 좌변과 우변의 극한값은 이므로, 샌드위치 정리에 의하여,

리만 제타 함수와의 관계[편집]

오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 리만 제타 함수로 일반화하였으며 모든 0 이상의 짝수에 대하여 수렴값을 닫힌 형식으로 구할 수 있는 방법을 제시하였다.

오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.

따라서 제타함수는 다음과 같이 표기 될 수 있으며 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 오일러의 바젤문제 증명, Ed Sandifer, Western Connecticut State University

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]