미하엘리스-멘텐 식

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효소 반응시 기질농도에 따른 초기속도의 의존성

미카엘-멘텐 반응속도론(Michaelis–Menten kinetics)은 생화학분야에서 가장 잘 알려진 효소반응속도론에 관한 모델 중 하나 이다. 기질 농도에 따른 효소의 초기 반응속도의 그래프를 대수적으로 나타내는 방법이다.[1]

 v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{ V_\max {[S]}}{K_\mathrm{M} + [S]} .

이 식을 미카엘-멘텐 식 이라고 부른다.

 [S] : 기질(반응물, Substrate) S 의 농도,
 [E] : 효소(Enzyme) E 의 농도,
 [ES] : 효소-기질 복합체의 농도(Substrate-Ezyme compelx),
 [P] : 생성물(Product)의 농도,
 V_{max} : 최대 반응속도 상수,
 K_\mathrm{M}  : 미카엘 상수.


유도[편집]

효소-기질의 반응을 통해 생성되는 물질에 대해서 화학반응식으로 표현하면,


E + S \, \overset{k_f}{\underset{k_r} \rightleftharpoons} \, ES \, \overset{k_\mathrm{cat}} {\longrightarrow} \, E + P

이라 쓸수 있고, 이 경우 위 반응 식을 시간에 따른 변화량으로 표현 하기위하여, 상미분방정식을 이용하면,

\begin{align}
\frac{d[E]}{dt} &= - k_f [E][S] + k_r [ES] + k_{cat} [ES] \\
\frac{d[S]}{dt} &= - k_f [E][S] + k_r [ES] \\
\frac{d[ES]}{dt} &=  k_f [E][S] - k_r [ES] - k_{cat} [ES] \\
\frac{d[P]}{dt} &=  k_{cat} [ES].
\end{align}

이라 쓸수 있다. 이때, 효소의 양은 반응 전후 일정하다 때문에, [E] + [ES] = [E]_0 라는 조건을 유도 할 수 있다.

평형점 근사(Quasi-steady-state approximation)[편집]

화학반응에서 화학평형점에 도달 할 경우, 생성물이 만들어지는 반응속도와 이 물질이 다시 분해되는 속도는 같다 라는 정보를 이용할 수 있다. 즉 위의 반응이 충분한 시간이 흘러 반응이 평형점(Equilibrium point)에 있다고 가정하면,

k_f [E] [S] - k_r [ES] - k_\mathrm{cat} [ES]  = 0

가 성립하며, '효소의 양은 반응 전후 일정하다' 라는 조건을 통해서

[E] = [E]_0 - [ES].

라는 식을 얻을 수 있다. 이 두식을 연립하면,

k_f ([E]_0 - [ES]) [S] - k_r [ES] - k_\mathrm{cat} [ES]  = 0

그리고 [ES] 에 대해서 식을 정리하면,

[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{\frac{k_r + k_\mathrm{cat}}{k_f} + [S]}

라는 식을 얻을 수 있다. 이때, :K_\mathrm{M} = \frac{k_r + k_\mathrm{cat}}{k_f} 이라 정의하고, 이를 미카엘 상수 라고 한다.

따라서 최종 생성물의 반응속도는,

v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{V_\max {[S]}}{K_\mathrm{M} + [S]}.

이라 표현 할 수 있고, 이때 V_\max = k_\mathrm{cat} [E]_0 이다. 이 식을 미카엘-멘텐 식 이라고 한다.

결론[편집]

효소 반응의 초기 속도는 기질(반응물)이 과량 일때 효소의 농도에 비례하며, 효소가 과량 일 때 일정한 한계 속도에 접근한다. 기질의 농도가 K_{m}일 때 초기 속도는 포화 속도의 절반인 0.5 V_{max}이다.

라인위버-버크 방정식[편집]

라인위버-버크 방정식(Lineweaver-Burk equation) 또는 이중-역수 플룻(Double-reciprocal plot)은 미케엘-멘텐 식으로 부터 유도 된다.

{1}\over{V_{0}} = { K_{M} } \over{ V_{max} [S] } + {1}\over{V_{max}}

각주[편집]

  1. Michaelis L., Menten M. (1913). “Die Kinetik der Invertinwirkung”. 《Biochem. Z.》 49: 333–369.  English translation. Retrieved 6 April 2007.