무조건 수렴

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함수해석학에서, 무조건 수렴(無條件收斂, 영어: unconditional convergence)은 급수가 더하는 순서와 무관하게 수렴하는 성질이다.[1][2][3] 실수항 또는 복소수항 급수의 경우 무조건 수렴은 절대 수렴동치이다.

정의[편집]

위상체 하우스도르프 -위상 벡터 공간 이 주어졌다고 하자. 점렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 경우 급수 무조건 수렴한다고 한다.[3]:120, §III, Exercise 23, (ii)

  • 임의의 순열 에 대하여, 는 수렴한다.
  • 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.
    • 임의의 0의 근방 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다.

무조건 수렴 급수는 자명하게 수렴한다. 무조건 수렴하지 않는 수렴 급수를 조건 수렴(條件收斂, 영어: conditional convergence)한다고 한다.

증명 (서로 다른 정의의 동치):

무조건 수렴 급수 의 합이 순열과 무관하게 같음을 보이는 것으로 충분하다. 귀류법을 사용하여, , , 순열 이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, 연속 쌍대 공간 원소 를 취할 수 있다. 그렇다면, 실수항 급수 절대 수렴하지 않는다 (이는 순열 을 가하였을 때 다른 합으로 수렴하기 때문이다). 리만 재배열 정리에 따라, 가 발산하게 되는 순열 이 존재하며, 이 경우 역시 발산하게 된다. 이는 모순이다.

실수체 또는 복소수체 하우스도르프 -국소 볼록 공간 의 경우, 점렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:143, §2.10(ii)

  • 는 무조건 수렴한다.
  • 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.
    • 임의의 연속 반노름 및 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 가 존재한다.

실수체 또는 복소수체 -바나흐 공간 의 경우, 점렬 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[2]:10, §1.3, Theorem 1.3.2

  • 는 무조건 수렴한다.
  • 임의의 순증가 자연수열 에 대하여, 는 수렴한다.
  • (완전 수렴, 영어: perfect convergence) 임의의 에 대하여, 는 수렴한다.

절대 수렴[편집]

실수체 또는 복소수체 하우스도르프 -국소 볼록 공간 이 주어졌다고 하자. 점렬 이 다음 조건을 만족시킨다면, 급수 절대 수렴한다고 한다.[3]:120, §III, Exercise 23, (iii)

  • 임의의 연속 반노름 에 대하여,

실수체 또는 복소수체 -노름 공간 의 경우, 점렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 무조건 수렴한다.

성질[편집]

하우스도르프 완비 국소 볼록 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴한다.[3]:120, §III, Exercise 23, (a) 유한 차원 하우스도르프 국소 볼록 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.[3]:120, §III, Exercise 23, (b)

위상체 하우스도르프 완비 -위상 벡터 공간 의 경우, 점렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]:120, §III, Exercise 23, (a)

  • 는 무조건 수렴한다.
  • 임의의 0의 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 가 존재한다.

프레셰 공간 위의 무조건 수렴[편집]

(모든 프레셰 공간하우스도르프 완비 국소 볼록 공간이므로,) 프레셰 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴한다.

프레셰 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:138, §2.9, Theorem 2.9.14[3]:184, §IV.10, (10.7), Corollary 2

바나흐 공간 위의 무조건 수렴[편집]

노름 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:8, §1.2, Theorem 1.2.2; 8, §1.2, Exercise 1.2.1

증명:

첫 번째와 두 번째 조건의 동치는 자명하다.

두 번째 조건 ⇒ 세 번째 조건: -바나흐 공간 위의 급수 ()가 절대 수렴한다고 하자. 그렇다면, 의 부분합은 코시 점렬이므로, 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 가 존재한다.

따라서 원래 급수 의 부분합 역시 코시 점렬이며, 은 수렴한다.

세 번째 조건 ⇒ 두 번째 조건: -노름 공간 위의 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다고 가정하자. 가 임의의 코시 점렬이라고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 자연수열 이 존재한다.

특히

이므로, 이다. 가정에 따라, 는 수렴한다. 은 수렴 부분 점렬 을 갖는 코시 점렬이므로, 자기 자신 역시 수렴한다.

바나흐 공간에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다 (드보레츠키-로저스 정리, 영어: Dvoretzky–Rogers theorem).[1]:138, §2.9, Theorem 2.9.15[2]:48, §4.1, Theorem 4.1.1[3]:184, §IV.10, (10.7), Corollary 3

이에 따라, 임의의 무한 차원 바나흐 공간은 절대 수렴하지 않는 무조건 수렴 급수를 가진다.

실수항 또는 복소수항 급수의 무조건 수렴[편집]

(실수체복소수체는 유한 차원 바나흐 공간이므로,) 실수항 또는 복소수항 급수에 대하여, 무조건 수렴은 절대 수렴동치이다. 이에 따라 실수항 또는 복소수항 조건 수렴 급수는 적절한 순열을 가하여 발산 급수로 만들 수 있다. 리만 재배열 정리에 따르면, 모든 실수항 조건 수렴 급수는 적절한 순열을 가하여 임의의 확장된 실수로 수렴하도록 만들 수 있다. 이는 복소수항 급수에 대해서는 성립하지 않는다.

임의의 자연수 집합 에 대하여,

라고 하자.

임의의 순열 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다 (이 조건을 ㈀이라고 하자).

  • 가 수렴하며, 는 발산하게 되는 실수열 이 존재한다.

임의의 순열 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다 (이 조건을 ㈁이라고 하자).

  • 가 수렴하며, 이게 되는 실수열 이 존재한다.

특히, ㈁ 조건은 ㈀ 조건을 함의한다.

[편집]

르베그 공간 위의 다음과 같은 점렬 을 생각하자.

그렇다면, 급수

로 무조건 수렴하지만,

이므로 절대 수렴하지 않는다.

각주[편집]

  1. Bogachev, V. I.; Smolyanov, O. G. (2017). 《Topological Vector Spaces and Their Applications》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-57117-1. ISBN 978-3-319-57116-4. ISSN 1439-7382. LCCN 2017939903. Zbl 1378.46001. 
  2. Kadets, Mikhail I.; Kadets, Vladimir M. (1997). 《Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence》. Operator Theory Advances and Applications (영어) 94. Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-9196-7. ISBN 978-3-0348-9942-0. Zbl 0876.46009. 
  3. Schaefer, H. H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological Vector Spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002. 

외부 링크[편집]