몬즈의 정리

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몬즈의 정리. 빨간색 선, 파란색 선 및 녹색 선의 교차점은 모두 동일 선상에 있으며 모두 검은 선 위에 존재한다.

기하학 에서 Gaspard Monge의 이름을 따온 몬즈의 정리는 평면의 어떤 3 개의 원에 대해서도 서로 겹치는 부분이 없을 때, 3 쌍의 원의 외접선 각각의 교점은 동일 선상에있다는 정리이다.

평면에서 두 개의 원에 대해 외접선은 두 원에 모두 접하지만 그 둘 사이를 통과하지 않는 선이다. 두 개의 원에 대해서는 두 개의 외부 접선이 존재한다. 이러한 각 쌍에는 확장 유클리드 평면 에서 고유한 교차점이 존재하게 된다. 몬즈의 정리에 따르면 세 쌍의 원에 의해 주어진 세 교차점은 항상 한 직선 위에 놓여 있다. 이때 두 개의 원이 동일한 크기 라면, 두 개의 외접선은 평행하게 된다. 이 경우에는 몬즈의 정리는 다른 두 개의 교점이 두 외접선과 평행한 선상에 있어야 한다고 말한다. 즉, 두 외부 접선이 무한원점에서 교차된다고 받아들인다면 다른 두 교차점은 무한대의 동일한 점을 통과하는 선에 있어야하므로 그 두 교차점을 이은 선은 외접선과 동일한 각도를 취하게 된다.

사실 몬즈의 정리는 몬즈(Monge)가 만든게 아니라 한국에서만 부르는 이름이다.

증명[편집]

가장 단순한 증명은 3 차원 유추를 이용하는 것이다.[1] 세 원을 같은 반지름의 세 구체에 대응 시켜보자. 원은 구의 중심을 통과하는 평면으로부터 오는 적도면에 해당한다. 세 개의 구체는 두 평면 사이에 고유하게 끼워 넣어질 수 있다. 각각의 구체 쌍은 두 구체 모두의 외접선으로 이루어진 원뿔을 정의하게 되며, 이 원뿔의 꼭짓점은 두 외접선, 즉 외부 '닮음의 중심'의 교차점에 해당한다. 원뿔의 한 선이 각 평면에 있기 때문에, 각 원뿔의 꼭짓점은 두 평면위에 모두 있어야 하며, 두 평면의 교차 선상에 있어야 한다. 따라서 세 개의 외부 닮음의 중심은 동일 선상에 존재한다.

몬즈의 정리는 또한 데자르그의 정리를 사용하여 증명할 수 있다. 또 다른 쉬운 증명은 메넬라오스 정리를 사용하는 경우 (분자와 분모가)순환되는 형태에 의해 약분될 각 원의 직경으로 비율을 계산할 수 있다. 데자르그의 정리는 또한 3 점이 한 선에 놓여 있다고 말하며, 2 차원이 아닌 3 차원으로 확장하고 2면의 교차점으로 선을 만들어낸다는 동일한 아이디어를 사용하여 유사한 증명을 하게 된다.

참고 문헌[편집]

  1. Wells, David (1991). 《The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry》. New York: Penguin Books. 153–154쪽. ISBN 0-14-011813-6. 

서지[편집]

외부 링크[편집]