메르텐스 정리 (정수론)

정수론에서 메르텐스 정리(Mertens' theorems)는 독일 수학자 프란츠 메르텐스(Franz Mertens)가 1874년에 제출한 정리로서, 소수의 밀도에 관한 해석학적 정수론(Analytic number theory)의 초기 결과이다. 다음과 같은 세 가지 형식이 있다.(메르텐스의 제2정리의 경우, 레온하르트 오일러는 이미 소수의 역수의 합이 발산함을 복소해석적 기법으로 증명한 적이 있다) 소수 정리가 이미 증명된 지금은 메르텐스의 제1정리와 제2정리의 수렴성은 소수 정리로부터 직접적으로 유도가 가능하다.

메르텐스의 제1정리

$p$를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다:

• $\ln n-\sum _{p<n}{\frac {\ln p}{p}}=O(1)\quad {\hbox{as}}\ n\to \infty ,$

이 수렴값은 약 $1.3325822757..$(OEIS,A083343)이다.

메르텐스의 제2정리

$p$를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다:

• $\lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p<n}{\frac {1}{p}}\right)=0.2614972128\ldots ,$

이 수렴값($M$)을 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant)라 한다. 약간의 대수학적 변형을 이용하면 이것과 유명한 오일러-마스케로니 상수 $\gamma$ 와의 다음과 같은 관계식을 도출할 수도 있다.

• $M-\gamma =\sum _{p}\left[\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]$

메르텐스의 제3정리

$p$를 소수, $\gamma$를 오일러-마스케로니 상수라 하면, 다음 등식이 성립한다:

$\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p<n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },$

이것은 제타 함수와 관계가 있는 유명한 식이다.

또는

$\prod _{p\leq n}\left(1-{{1} \over {p}}\right)\sim {{e^{-\gamma }} \over {\ln n}}$

참고

수렴하는 두 무한급수의 수렴값의 곱은 코시 곱(Cauchy product)의 수렴값과 같다는 정리를 메르텐스의 정리라고 부를 때도 있다.

같이 보기

• 무한급수
• 소수
• 소수 정리