메르텐스 정리 (정수론)

수학의 수 체계
기초
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ 복소수 { $\mathbb {R} (\mathrm {i} )$ } 허수 순허수 $\mathbb {R}$ 실수 { $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,{\sqrt {2}},\pi$ } $\mathbb {I}$ 무리수 { ${\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\pi ,...$ } $\mathbb {Q}$ 유리수 {2/3, -4/7,...} $\mathbb {Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb {N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb {P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 상초실수 초실수 초현실수
기타
명목수 순서수 size, position {n} 기수 $\{\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $={\sqrt {-1}}$ $\pi$ 원주율 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb {Q}$ ) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - √5 - γ - φ - β^* - δ - α - C₂ - M₁ - B₂ - B₄ - Λ - K - K - K - B´_L - μ - E_B - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

정수론에서 메르텐스 정리는 독일 수학자 프란츠 메르텐스(Franz Mertens)가 1874년에 제출한 정리로서, 소수의 밀도에 관한 해석학적 정수론(Analytic number theory)의 초기 결과이다. 다음과 같은 세 가지 형식이 있다.(메르텐스의 제2정리의 경우, 레온하르트 오일러는 이미 소수의 역수의 합이 발산함을 복소해석적 기법으로 증명한 적이 있다^[1]) 소수 정리가 이미 증명된 지금은 메르텐스의 제1정리와 제2정리의 수렴성은 소수 정리로부터 직접적으로 유도가 가능하다.

메르텐스의 제1정리[편집]

$p$ 를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다:

이 수렴값은 약 $1.3325822757..$ 이다.

$p$ 를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다:

$\lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p<n}{\frac {1}{p}}\right)=0.2614972128\ldots ,$

이 수렴값( $M$ )을 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant)라 한다. 약간의 대수학적 변형을 이용하면 이것과 유명한 오일러-마스케로니 상수 $\gamma$ 와의 다음과 같은 관계식을 도출할 수도 있다.

$M-\gamma =\sum _{p}\left[\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]$

$p$ 를 소수, $\gamma$ 를 오일러-마스케로니 상수라 하면, 다음 등식이 성립한다:

$\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p<n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },$

이것은 제타 함수와 관계가 있는 유명한 식이다.

수렴하는 두 무한급수의 수렴값의 곱은 코시 곱(Cauchy product)의 수렴값과 같다는 정리를 메르텐스의 정리라고 부를 때도 있다.