메넬라오스의 정리

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메넬라우스의 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나는 경우.
메넬라우스의 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나지 않는 경우.

메넬라오스의 정리(Menelaus' theorem)는 삼각형의 변에 놓인 공선점에 관한 기하학 정리이다. 알렉산드리아의 메넬라오스의 이름을 따 명명되었다. 주어진 삼각형 ABC에서 꼭짓점이 아닌 점 D, E, F가 각각 직선 BC, CA, AB 위에 있다고 하자. 이때, D, E, F가 공선점이면

이 성립한다. 여기서 AF/FBFAB내분점일 때 양의 값, 외분점일 때 음의 값을 취한다. BD/DC, CE/EA도 비슷하다. 또한, 으로 위의 식이 성립하면 D, E, F는 공선점이다. 이 또한 정리의 일부로 간주되기도 한다.[1]

특징[편집]

  • 체바의 정리는 메넬라오스의 정리와 쌍대를 이룬다.
  • 임의의 다각형에서도 성립한다. 예를 들어, 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그의 연장선과 직선 l의 교점을 E, F, G, H라 하면 다음이 성립한다.
  • 직선이 다각형을 지나지 않아도 된다

증명[편집]

증명 1[편집]

증명 도해

D, E, F가 한 직선 l 위에 있다고 가정하자. 점 B를 지나 직선 l의 평행선 m을 긋고 mAB와의 교점을 X라 하자. 이때, lm은 서로 평행이므로 다음이 성립한다.

(위의 식은 부호를 고려하지 않았다) 또한 AF/FB, BD/DC, CE/EA 중 음수인 건 하나 또는 셋 뿐이므로, 셋을 곱하면 음의 값이 된다. 고로

증명 2[편집]

AF = λAB, BD = μBC, CE = νCA라 가정하자. B, C, D가 한 직선 상에 있으므로, ADABAC에 의해 계수 합이 1이 되도록 분해된다.

이에 앞서 가정한 것들을 대입하면

그러므로 D, E, F가 공선점임은, 다음 일련의 조건들과 각각 동치이다.

  • 계수의 합이 여전히 1이다. 즉
  • AF/FB, BD/DC, CE/EA를 각각 λ ', μ ', ν '이라 할 때,

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 尤承业 (2004년 1월). 《解析几何》 [해석기하학] 초판. 北京大学出版社. 16쪽. ISBN 978-7-301-04580-0.