메넬라오스 정리

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메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나는 경우.
메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나지 않는 경우.

기하학에서, 메넬라오스 정리(영어: Menelaus' theorem)는 삼각형의 세 변에 놓인 공선점내분 · 외분 비율에 대한 정리이다.

서술[편집]

삼각형 ABC와 각각 직선 BC, CA, AB에 놓인 점 D, E, F에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • D, E, F공선점이다. 즉, 같은 직선에 놓여 있다.
  • .

여기서 AF/FB는 부호 있는 비율이며, FAB의 내분점이면 양수, 외분점이면 음수를 취한다. 남은 두 비율도 비슷하다.

특징[편집]

  • 체바 정리는 메넬라오스의 정리와 쌍대를 이룬다.
  • 임의의 다각형에서도 성립한다. 예를 들어, 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그의 연장선과 직선 l의 교점을 E, F, G, H라 하면 다음이 성립한다.
  • 직선이 다각형을 지나지 않아도 된다

증명[편집]

증명 1[편집]

증명 도해

D, E, F가 공선점이라고 가정하자. 점 B를 지나 직선 AC의 평행선을 긋고, EF와의 교점을 X라고 하자. 그렇다면, 닮음 삼각형에 따라,

이다. 따라서, 부호를 고려하지 않는다면,

이다. 또한, 세 비율 가운데, 홀수 개만 음수이므로, 부호를 고려한 곱은 -1이다.

반대로, 비율의 곱이 -1이라고 가정하자. DE의 연장선과 AB의 교점이 G라고 하자. 그렇다면, 위 증명에 따라, G의 내(외)분 비율은 F의 내(외)분 비율과 같으므로, FG는 같은 점이다. 따라서, D, E, F는 공선점이다.

증명 2[편집]

AF = λAB, BD = μBC, CE = νCA라 가정하자. B, C, D가 한 직선 상에 있으므로, ADABAC에 의해 계수 합이 1이 되도록 분해된다.

이에 앞서 가정한 것들을 대입하면

그러므로 D, E, F가 공선점임은, 다음 일련의 조건들과 각각 동치이다.

  • 계수의 합이 여전히 1이다. 즉
  • AF/FB, BD/DC, CE/EA를 각각 λ ', μ ', ν '이라 할 때,

역사[편집]

알렉산드리아의 메넬라오스(고대 그리스어: Μενέλαος ὁ Ἀλεξανδρεύς)가 구면 기하학의 명제를 증명하는 데 사용하였다.

같이 보기[편집]