마슈케의 정리

수학에서 하인리히 마슈케의 이름을 딴 마슈케의 정리(Maschke's theorem)^[1]^[2]^[3]는 유한군의 표현을 기약표현으로 분해하는 것에 관한 군 표현 이론의 정리이다. 마슈케의 정리는 유한군 G의 표현을 실제로 계산하지 않고도 일반적인 결론을 내릴 수 있게 한다. 이 정리가 적용될 때, 모든 표현은 기약 부분(구성 요소)의 직합이므로, 모든 표현을 분류하는 작업을 기약표현을 분류하는 더 관리하기 쉬운 작업으로 줄인다. 더욱이, 조르당-횔더 정리에 따르면, 기약 부분 표현의 직합으로의 분해는 유일하지 않을 수 있지만, 기약 부분들은 잘 정의된 중복도를 가진다. 특히, 표수 0인 체 위의 유한군 표현은 지표에 의해 동형 사상까지 결정된다.

공식화

마슈케의 정리는 일반적인 (유한 차원) 표현이 직합 연산을 사용하여 기약 부분 표현으로부터 구성되는 시점이 언제인가 하는 질문에 답한다. 이 질문(및 그 답)은 군 표현 이론에 대한 다른 관점에 따라 다르게 공식화된다.

군론적

마슈케의 정리는 일반적으로 다음 결과의 따름정리로 공식화된다:

정리— $V$ 는 유한군 $G$ 의 표현이며, 차수를 나누지 않는 표수를 가진 체 $\mathbb {F}$ 위에서 정의된다. 만약 $V$ 가 부분 표현 $W$ 를 가진다면, $V=W\oplus U$ 를 만족하는 또 다른 부분 표현 $U$ 를 가진다.^[4]^[5]

그러면 따름정리는 다음과 같다:

따름정리 (마슈케의 정리)—표수가 차수를 나누지 않는 체 $\mathbb {F}$ 위의 유한군 $G$ 의 모든 표현은 기약 표현의 직합이다.^[6]^[7]

군 $G$ 의 복소수 값 클래스 함수의 벡터 공간은 슈어 직교 관계 문서에 설명된 자연스러운 $G$ -불변 내적 구조를 가진다. 마슈케의 정리는 원래 $\mathbb {C}$ 위에서의 표현의 경우에 대해 이 내적 아래에서 $W$ 의 직교 여공간으로 $U$ 를 구성함으로써 증명되었다.

모듈론적

유한군 표현에 대한 접근 방식 중 하나는 가군론을 통해서이다. 군 $G$ 의 표현은 군환 $K[G]$ 위의 모듈로 대체된다 (정확히 말하면, $K[G]{\text{-Mod}}$ 와 $\operatorname {Rep} _{G}$ (G의 표현의 범주) 사이에 범주의 동형 사상이 존재한다). 기약 표현은 단순 가군에 해당한다. 모듈론 언어로, 마슈케의 정리는 "임의의 모듈이 반단순인가?"라고 묻는다. 이 맥락에서, 정리는 다음과 같이 재구성될 수 있다:

마슈케의 정리— $G$ 를 유한군이라 하고, $K$ 를 그 표수가 $G$ 의 차수를 나누지 않는 체라 하자. 그러면 $G$ 의 군환인 $K[G]$ 는 반단순이다.^[8]^[9]

이 결과의 중요성은 잘 발달된 반단순환 이론, 특히 웨더번-아르틴 정리에 의해 주어진 분류에서 비롯된다. $K$ 가 복소수 체인 경우, 이는 대수 $K[G]$ 가 각 기약 표현에 대해 여러 개의 복소수 행렬 대수 사본의 곱임을 보여준다.^[10] 만약 체 $K$ 가 표수 0이지만 대수적으로 닫혀 있지 않다면, 예를 들어 $K$ 가 실수 또는 유리수 체인 경우, 다소 더 복잡한 명제가 성립한다: 군환 $K[G]$ 는 $K$ 위의 나눗셈환 위에서 정의된 행렬 대수의 곱이다. 합산되는 항들은 $K$ 위에서 정의된 $G$ 의 기약 표현에 해당한다.^[11]

범주론적

반단순 범주의 언어로 재구성된 마슈케의 정리는 다음과 같이 서술된다.

마슈케의 정리—G가 군이고 F가 그 표수가 G의 차수를 나누지 않는 체라면, F 위의 G의 표현의 범주는 반단순이다.

증명

군론적

W의 여공간인 V의 부분 공간을 U라 하자. $p_{0}:V\to W$ 를 사영 함수, 즉 모든 $u\in U,w\in W$ 에 대해 $p_{0}(w+u)=w$ 라 하자.

${\textstyle p(x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(x)}$ 로 정의하자. 여기서 $g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}$ 는 W와 V에 대한 G의 표현인 $\rho _{W}{g}\cdot p_{0}\cdot \rho _{V}{g^{-1}}$ 의 약어이다. 그러면 $\ker p$ 는 표현 $\rho _{V}$ 아래에서 G에 의해 보존된다: 모든 $w'\in \ker p,h\in G$ 에 대해, ${\begin{aligned}p(hw')&=h\cdot h^{-1}{\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(hw')\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}(h^{-1}\cdot g)\cdot p_{0}\cdot (g^{-1}h)w'\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}w'\\&=h\cdot p(w')\\&=0\end{aligned}}$

따라서 $w'\in \ker p$ 이면 $hw'\in \ker p$ 가 된다. 따라서 $\ker p$ 에 대한 $\rho _{V}$ 의 제한도 표현이다.

$p$ 의 정의에 의해, 모든 $w\in W$ 에 대해 $p(w)=w$ 이므로 $W\cap \ker \ p=\{0\}$ 이고, 모든 $v\in V$ 에 대해 $p(p(v))=p(v)$ 이다. 따라서 $p(v-p(v))=0$ 이고 $v-p(v)\in \ker p$ 이다. 그러므로 $V=W\oplus \ker p$ 이다.

모듈론적

V를 K[G]-부분 모듈이라고 하자. V가 직합 인자임을 증명할 것이다. K[G]에서 V로 가는 K-선형 사영을 π라고 하자. 다음 맵을 고려해보자. ${\begin{cases}\varphi :K[G]\to V\\\varphi :x\mapsto {\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)\end{cases}}$

그러면 φ는 다시 사영이다: 분명히 K-선형이고, K[G]를 V로 매핑하며, V에 대한 항등을 유도한다 (따라서 K[G]를 V 위로 매핑한다). 게다가 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\varphi (t\cdot x)&={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot t\cdot x)\\&={\frac {1}{\#G}}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\cdot x)\\&=t\cdot \varphi (x),\end{aligned}}$

따라서 φ는 사실 K[G]-선형이다. 분할 완전열에 의해 $K[G]=V\oplus \ker \varphi$ 이다. 이것은 모든 부분 모듈이 직합 인자임을 증명하며, 즉 K[G]가 반단순임을 증명한다.

역 명제

위의 증명은 #G가 K에서 가역이라는 사실에 의존한다. 이는 마슈케의 정리의 역도 성립하는지 묻게 만들 수 있다: K의 표수가 G의 차수를 나눈다면, K[G]가 반단순이 아니라는 결론이 나오는가? 답은 '예'이다.^[12]

증명. ${\textstyle x=\sum \lambda _{g}g\in K[G]}$ 에 대해 ${\textstyle \epsilon (x)=\sum \lambda _{g}}$ 로 정의한다. $I=\ker \epsilon$ 이라 하자. 그러면 I는 K[G]-부분 모듈이다. K[G]의 모든 비자명 부분 모듈 V에 대해 $I\cap V\neq 0$ 임을 증명할 것이다. V가 주어지고, ${\textstyle v=\sum \mu _{g}g}$ 가 V의 어떤 비영 원소라고 하자. 만약 $\epsilon (v)=0$ 이면, 주장은 즉각적이다. 그렇지 않으면, ${\textstyle s=\sum 1g}$ 라 하자. 그러면 $\epsilon (s)=\#G\cdot 1=0$ 이므로 $s\in I$ 이고 $sv=\left(\sum 1g\right)\!\left(\sum \mu _{g}g\right)=\sum \epsilon (v)g=\epsilon (v)s$

이므로 $sv$ 는 I와 V 모두의 비영 원소이다. 이것은 모든 V에 대해 V가 I의 직접 보완이 아님을 증명하므로, K[G]는 반단순이 아니다.

비예시

이 정리는 G가 무한군이거나 체 K의 표수가 #G를 나누는 경우에는 적용될 수 없다. 예를 들어,

무한군 $\mathbb {Z}$ 와 $\rho (n)={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}$ 로 정의된 표현 $\rho :\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )$ 를 고려해보자. ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ 로 생성된 $\mathbb {C} ^{2}$ 의 1차원 부분 공간을 $W=\mathbb {C} \cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ 라 하자. 그러면 W에 대한 $\rho$ 의 제한은 $\mathbb {Z}$ 의 자명 부분 표현이다. 그러나 W, U 모두 $\mathbb {Z}$ 의 부분 표현이고 $\mathbb {C} ^{2}=W\oplus U$ 를 만족하는 U는 없다. 이러한 U는 1차원이어야 하지만, $\rho$ 에 의해 보존되는 모든 1차원 부분 공간은 ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ 의 고유벡터에 의해 생성되어야 하며, 유일한 고유벡터는 ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ 이다.
소수 p, 군 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ , 체 $K=\mathbb {F} _{p}$ , 그리고 $\rho (n)={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}$ 로 정의된 표현 $\rho :\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {F} _{p})$ 를 고려해보자. 간단한 계산을 통해 ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ 에 대한 고유벡터는 여기에서 단 하나뿐이므로, 동일한 논리에 따라 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ 의 1차원 부분 표현은 유일하며, $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ 는 두 개의 1차원 부분 표현의 직합으로 분해될 수 없다.