마든 정리

삼각형과 그 슈타이너 내접 타원. 검은색 점은 3차 다항식 p(z)의 영점, 빨간 점은 도함수 p'(z)의 영점, 가운데 연두색 점은 이계 도함수 p''(z)의 영점, 나머지 세 연두색 점은 삼각형의 변의 중점을 나타낸다. 마든 정리에 따르면, 빨간 점은 연두색 타원의 두 초점이다.

수학에서 마든 정리(영어: Marden's theorem)는 복소수 3차 다항식의 두 임계점이 세 영점이 이루는 삼각형에 세 변의 중점에서 내접하는 타원의 초점이라는 정리이다.

정의

주어진 삼각형의 세 변의 중점을 지나는 내접 타원은 항상 유일하게 존재한다. 이를 삼각형의 슈타이너 내접 타원이라고 한다.

복소수 3차 다항식 $p(z)\in \mathbb {C} [z]$의 영점을 $a,b,c$, 임계점을 $f,f'$라고 하자. 또한, $a,b,c$가 공선점이 아니라고 하자. 그렇다면, $f,f'$는 $a,b,c$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 두 초점이다. 이를 마든 정리라고 한다.

증명

편의상 $p(z)$가 일계수 다항식이며, $a+b+c=0$이라고 하자. 그렇다면, $f+f'=0$이며, $p(z)$와 도함수 $p'(z)$는 다음과 같다.

$p(z)=(z-a)(z-b)(z-c)$

$p'(z)=3(z+f)(z-f)=(z-a)(z-b)+(2z-(a+b))(z-c)$

한 변의 중점 $z'=(a+b)/2$와 두 초점 $-f,f$ 사이의 거리의 합

$|z'+f|+|z'-f|$

을 생각하자. 이를 평행사변형 법칙을 사용하여 구하면 다음과 같다.

$2(|z'+f|+|z'-f|)^{2}$	$=2|z'+f|^{2}+2|z'-f|^{2}+4|(z'+f)(z'-f)|$
	$=4|z'|^{2}+4|f|^{2}+{\frac {1}{3}}|a-b|^{2}$	(평행사변형 법칙 및 $p'(z')=-((a-b)/2)^{2}$)
	$=|a+b|^{2}+4|f|^{2}+{\frac {1}{3}}|a-b|^{2}$
	$={\frac {2}{3}}|a+b|^{2}+{\frac {2}{3}}(|a|^{2}+|b|^{2})+4|f|^{2}$	(평행사변형 법칙)
	$={\frac {2}{3}}(|a|^{2}+|b|^{2}+|c|^{2})+4|f|^{2}$	($a+b=-c$)

즉, 변의 중점과 $-f,f$ 사이의 거리의 합은 변의 선택과 무관하다. 따라서, $-f,f$는 $a,b,c$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 초점이다.

역사

이외르크 지베크(독일어: Jörg Siebeck)가 증명하였다. 모리스 마든(영어: Morris Marden)의 이름을 따 명명되었다.

같이 보기

• 가우스-뤼카 정리