준동형

추상대수학에서 준동형(準同型, 영어: homomorphism) 또는 준동형 사상(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다.

정의

같은 부호수 $\sigma =(F,R)$의 두 구조 $(A,F_{A},R_{A})$, $(B,F_{B},R_{B})$ 사이의 준동형은 다음 조건을 만족시키는 함수 $\phi \colon A\to B$이다.

• (연산의 보존) 모든 $n$항 연산 $f\in F$ 및 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A$에 대하여,

$\phi (f_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}))=f_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))$

• (관계의 보존) 모든 $n$항 관계 $r\in R$ 및 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A$에 대하여,

$r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\implies r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))$

같은 부호수 $\sigma =(F,R)$의 두 구조 $(A,F_{A},R_{A})$, $(B,F_{B},R_{B})$ 사이의 강준동형(強準同型, 영어: strong homomorphism)은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형 $\phi \colon A\to B$이다.

• 모든 $n$항 관계 $r\in R$ 및 $a_{1},\dots ,a_{n}\in A$에 대하여,

$r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\iff r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))$

대수 구조의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.

예

마그마와 군

마그마 $(M,\cdot )$는 하나의 이항 연산을 갖는 대수 구조이다. 마그마 준동형 $\phi \colon M\to N$은 모든 $m,n\in M$에 대하여

$\phi (m\cdot n)=\phi (m)\cdot \phi (n)$

인 함수이다.

군 $(G,\cdot ,^{-1},1)$은 이항 연산 $\cdot$, 일항 연산 $^{-1}$, 영항 연산 $1$을 갖는 대수 구조이다. 군 준동형 $\phi \colon G\to H$는 모든 $g,g'\in G$에 대하여

1. $\phi (g\cdot g')=\phi (g)\cdot \phi (g')$
2. $\phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}$
3. $\phi (1)=1$

인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

유사환과 환

유사환 $(R,\cdot ,+,-,0)$은 이항 연산 $\cdot$ 및 $-$, 일항 연산 $-$, 영항 연산 $0$을 갖는 대수 구조이다. 유사환 준동형 $\phi \colon R\to S$는 모든 $r,r'\in R$에 대하여

1. $\phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')$
2. $\phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')$
3. $\phi (-r)=-\phi (r)$
4. $\phi (-0)=-\phi (0)$

인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

(단위원을 갖는) 환 $(R,\cdot ,+,-,1,0)$은 이항 연산 $\cdot$ 및 $+$, 일항 연산 $-$, 영항 연산 $0$ 및 $1$을 갖는 대수 구조이다. 환 준동형 $\phi \colon R\to S$는 모든 $r,r'\in R$에 대하여

1. $\phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')$
2. $\phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')$
3. $\phi (-r)=-\phi (r)$
4. $\phi (-0)=-\phi (0)$
5. $\phi (1)=1$

인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, 환 준동형은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다. 예를 들어, $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, $n\mapsto (0,n)$은 유사환 준동형이지만 환 준동형이 아니다.

체는 (보편 대수학에서 다루는) 대수 구조가 아니므로, 준동형의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형은 체의 확대이다. 체 사이의 유사환 준동형은 그 밖에 상수 함수 0만을 추가로 포함한다.

벡터 공간

체 $K$에 대한 벡터 공간 $(V,+,-,s\cdot _{s\in K},0)$은 이항 연산 $+$, 일항 연산 $-$ 및 모든 $s\in K$에 대하여 $s\cdot$, 영항 연산 $0$을 갖는 대수 구조이다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환이라고 하며, 선형 변환 $\phi \colon V\to W$는 모든 $v,v'\in R$에 대하여

1. $\phi (v+v')=\phi (v)+\phi (v')$
2. $\phi (-v)=-\phi (v')$
3. 모든 $s\in K$에 대하여, $\phi (-s\cdot r)=-s\cdot \phi (r)$
4. $\phi (0)=\phi (0)$

인 함수이다. 벡터 공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

격자

격자 $(L,\vee ,\wedge )$는 이항연산 $\vee$ 및 $\wedge$를 갖는 대수 구조이다. 격자의 준동형 $\phi \colon L\to M$은 모든 $a,b\in L$에 대하여

1. $\phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)$
2. $\phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)$

인 함수이다. 격자는 표준적인 부분 순서 집합 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 단조함수임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유계 격자 $(L,\vee ,\wedge ,\bot ,\top )$는 이항 연산 $\vee$ 및 $\wedge$, 영항 연산 $\bot$ 및 $\top$을 갖는 대수 구조이다. 유계 격자의 준동형 $\phi \colon L\to M$은 모든 $a,b\in L$에 대하여

1. $\phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)$
2. $\phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)$
3. $\phi (\bot )=\bot$
4. $\phi (\bot )=\top$

인 함수이다. 이는 격자의 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

그래프

그래프의 언어 $\langle \sim \rangle$는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 $v_{1}\sim v_{2}$를 갖는 언어이다. 이 경우 $v_{1}\sim v_{2}$는 "$v_{1}=v_{2}$이거나, 아니면 $v_{1}$과 $v_{2}$ 사이에 변이 존재한다"로 해석한다.

이 언어의 구조는 그래프이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다.

전순서

전순서 집합의 언어 $\langle \leq$는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 $\leq$를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 전순서 집합이다. 이 경우, 준동형은 순서 보존 함수(증가 함수)이다.

참고 문헌

• Burris, Stanley N.; Hanamantagouda P. Sankappanavar. 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 78. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001. 

같이 보기

• 사상
• 동형 사상
• 준동형 정리
• 동형 정리
• 합동 관계

외부 링크

• “Homomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Homorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Homomorphism”. 《nLab》 (영어).