르베그 적분

리만 적분은 적분 영역을 세로로 나누어 계산하지만, 르베그 적분은 적분 영역을 가로로 나누어 계산한다.

측도론에서 르베그 적분(Lebesgue積分, 영어: Lebesgue integral)은 일반적인 측도 공간 위에 정의될 수 있는 적분이다. 실수선 위에서의 르베그 적분은 리만 적분보다 더 일반적이며 리만 적분이 정의되지 않아도 르베그 적분이 정의되는 함수들이 존재한다. 르베그 적분은 리만 적분에 비해서 정의하는 방식이 극한 개념 등과 잘 어울리기 때문에, 해석학이나 확률론 등의 분야에 주로 사용된다.

정의

르베그 적분은 르베그 측도를 기반으로 하여 정의하며, 지시 함수와 같이 간단한 함수부터 정의한 다음 점차 일반적인 함수에 대해서 정의한다. 측도 공간 $(E,{\mathcal {E}},\mu )$ 위의 단순 함수(영어: simple function) $E\to [0,\infty )$는 가측 집합 위의 지시 함수들의, 음이 아닌 계수를 가진 유한 선형 결합이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{S_{i}}\qquad (a_{i}\geq 0,\;S_{i}\in {\mathcal {E}})$

단순함수들의 집합을 ${\mathcal {S}}(E)$라고 하자. 단순 함수 $s\in {\mathcal {S}}(E)$의 르베그 적분은 다음과 같다.

$\int \sum _{i}a_{i}1_{S_{i}}\,d\mu =\sum _{i}a_{i}\mu (S_{i})$

${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$가 실수의 보렐 시그마 대수라고 하자. 가측 함수 $f\colon (E,X,\mu )\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$의 르베그 적분 $\int fd\mu$는 다음과 같다.

$\int f\,d\mu =\sup \left\{\int s\,d\mu \colon s\leq \max\{f,0\},\;s\in {\mathcal {S}}(E)\right\}-\sup \left\{\int s\,d\mu \colon s\leq \max\{-f,0\},\;s\in {\mathcal {S}}(E)\right\}$

가측 집합 $A\subset E$에 국한된 르베그 적분은 다음과 같다.

$\int _{A}f\,d\mu =\int 1_{A}f\,d\mu$

유클리드 공간 $E=\mathbb {R} ^{n}$ 위의 르베그 적분은 보통 르베그 측도를 갖춘 경우를 의미한다.

리만 적분과의 관계

르베그 적분은 일반적으로 적분에서 사용하는 리만 적분과는 다른 방식으로 정의하지만, 리만 적분과 르베그 적분이 모두 존재할 경우 두 적분값은 같다. 또한, 리만 적분이 불가능하지만 르베그 적분이 가능한 경우도 존재한다.

예

유리수 집합 위의 지시 함수 $1_{\mathbb {Q} }$는 리만 적분이 존재하지 않는다. 그러나 그 르베그 적분은 존재하며,

$\int 1_{\mathbb {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbb {Q} )=0$

이다.

역사

앙리 르베그가 박사 학위 논문에서 1902년 정의하였다.

참고 문헌

• Hawkins, Thomas. 《Lebesgue’s theory of integration: Its origins and development》 (영어) 2판. AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-082840282-8.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Bauer, Heinz (2001). 《Measure and integration theory》. De Gruyter Studies in Mathematics (영어) 26. Berlin: De Gruyter. 236쪽. ISBN 978-3-11-016719-1. 

• Folland, Gerald B. (1999). 《Real analysis: Modern techniques and their applications》. Pure and Applied Mathematics (New York) (영어) Seco판. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-31716-0. MR 1681462. 

• Munroe, M. E. (1953). 《Introduction to measure and integration》 (영어). Addison-Wesley. MR 0053186. 

• Rudin, Walter (1966). 《Real and complex analysis》 (영어). New York: McGraw-Hill. MR 0210528. 

• Yeh, James (2006). 《Real analysis: Theory of measure and integral》 (영어) 2판. Singapore: World Scientific. 760쪽. ISBN 978-981-256-6.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• 김경화 (2008년 8월). “적분개념의 발달 (리만적분에서 르베그적분으로의 이행을 중심으로)”. 《한국수학사학회지》 21 (3): 67–96. ISSN 1226-931X. 2015년 4월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 2일에 확인함. 

외부 링크

• “Lebesgue integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lebesgue integral”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.