르베그 수

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위상수학에서, 거리 공간열린 덮개르베그 수(Lebesgue數, 영어: Lebesgue number)는 열린 덮개의 섬세함을 측정하는 수이다. 구체적으로, 르베그 수보다 더 작은 지름을 갖는 집합은 열린 덮개의 한 원소에 속하게 된다.

정의[편집]

유사 거리 공간 덮개 르베그 수 는 다음 조건을 만족시키는 수이다.

  • 임의의 부분 집합 에 대하여, 이면 가 존재한다.

여기서

유사 거리 공간지름이다.

성질[편집]

유일성[편집]

유사 거리 공간 덮개 의 르베그 수 가 존재한다면, 보다 작은 양의 실수는 마찬가지로 의 르베그 수이다.

정의에 따라, 유사 거리 공간 덮개 의 르베그 수가 존재한다면, 그 최대 르베그 수가 존재하며, 이는 덮개의 불변량이다.

존재[편집]

르베그 수 보조정리(-數補助定理, 영어: Lebesgue's number lemma)에 따르면, 콤팩트 유사 거리 공간열린 덮개의 르베그 수는 항상 존재한다.

증명:

정의에 따라 유한 부분 덮개

를 취할 수 있다. 이제, 다음이 르베그 수임을 보이자.

임의의

에 대하여, 임의의

를 취하자. 그러면,

이므로, 다음을 만족시키는 이 존재한다.

즉,

이다.

[편집]

닫힌구간 열린구간 덮개 의 한 르베그 수 는 그 유한 부분 덮개 가 주어졌을 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.

구체적으로, 임의의 에 대하여, 이 주어졌을 때, 임의의 ()에 대하여, 를 덮는 한 열린구간을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

응용[편집]

르베그 측도측도의 성질을 만족하는 것을 보이기 위해 사용된다.[1]:32

참고 문헌[편집]

  1. Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics

외부 링크[편집]