로렌즈 방정식

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로렌즈 끌개
로렌즈 끌개의 시간 변화

동역학계 이론에서, 로렌즈 방정식(Lorenz方程式, 영어: Lorenz equation)은 3차원 공간상에서 대기의 대류를 나타내는 간단한 비선형 동역학계이다. 야릇한 끌개의 대표적인 예인 로렌즈 끌개를 보인다.

정의[편집]

로렌즈 방정식x(t),y(t),z(t) 세 변수에 대한 1차 비선형 연립 상미분 방정식이며, 세 개의 매개변수 \sigma,\rho,\beta에 의존한다. 다음과 같다.

\dot x=\sigma(y-x)
\dot y=x(\rho-z)-y
\dot z=xy-\beta z

로렌즈의 원래 논문[1] 에서 사용된 매개변수 값들은 다음과 같다.

\sigma=10
\beta=8/3
\rho=28

이 값에서 로렌즈 방정식은 혼돈적인 성질을 보이며, 로렌즈 끌개라는 야릇한 끌개를 가진다.

성질[편집]

대칭[편집]

로렌즈 방정식은 다음과 같은 대칭을 가진다.

(x,y,z)\mapsto(-x,-y,z)

평형점과 불변 집합[편집]

\sigma\ne0이며 \beta(\rho-1)>0일 경우, 로렌즈 방정식의 평형점은 다음과 같이 세 개가 있다.

(x,y,z)=\left(\sqrt{\beta(\rho-1)},\sqrt{\beta(\rho-1)},\beta(\rho-1)\right)
(x,y,z)=\left(-\sqrt{\beta(\rho-1)},-\sqrt{\beta(\rho-1)},\beta(\rho-1)\right)
(x,y,z)=(0,0,0)

만약 \sigma\ne0이지만 \beta(\rho-1)<0일 경우, 마지막 하나의 평형점만이 존재한다.

로렌즈 방정식에서, z축 \{(0,0,z)\colon z\in\mathbb R\}은 불변 집합이다. z축 위에서 로렌즈 방정식은

\dot z=-\beta z

가 되므로, \beta>0이라면 이 경우 모든 초기 조건은 원점 (0,0,0)으로 지수적으로 수렴한다.

분기[편집]

로렌즈 끌개는 3차원 속의 곡면 속에 존재하며, 프랙털 모양을 하고 있다.

(\beta,\sigma)=(8/3,10)으로 고정시키고, \rho의 값을 변화시킨다면, 로렌즈 방정식은 다음과 같은 성질을 보인다.

  • \rho\in(0,1)일 경우, 원점은 유일한 안정적 평형점이다. 모든 궤도는 원점으로 수렴한다.
  • \rho=1에서 갈퀴 분기가 일어나며, 원점은 세 개의 평형점으로 분기한다. 원점은 이제 불안정 평형점이 되지만, 나머지 두 평형점은 안정적이다. 1<\rho<1.346일 경우 거의 모든 초기 조건은 두 안정적 평형점으로 수렴한다.
  • \rho=1.346에서 호프 분기가 일어나며, 모든 평형점이 불안정해진다. 대신 두 개의 안정적인 극한 주기 궤도 C_+, C_-이 생기며, 1.346<\rho<13.926일 경우 거의 모든 초기 조건은 두 극한 주기 궤도 가운데 더 가까운 쪽으로 수렴한다.
  • 13.926<\rho<24.06일 경우, 로렌즈 방정식은 일시적 혼돈(영어: transient chaos)을 보인다. 즉, 두 안정적 극한 주기 궤도 C_+, C_-가 존재하며 거의 모든 궤도는 이 둘 가운데 하나로 수렴하지만, 일부 초기 조건에 대하여 어느 쪽으로 수렴하는지 여부는 초기 조건에 대하여 민감하게 의존한다.
  • 24.06<\rho<24.74일 경우, 로렌즈 방정식은 일부 초기 조건에 대하여 혼돈을 보이기 시작한다. 그러나 두 극한 주기 궤도 C_\pm는 여전히 안정적이다.
  • \rho>\sigma\tfrac{\sigma+\beta+3}{\sigma-\beta-1}\approx24.74이게 되면 두 극한 주기 궤도는 더 이상 안정적이지 않으며, 거의 모든 초기 조건에 대하여 혼돈이 발생한다.
    • 특히, 로렌즈가 연구한 경우인 \rho=28인 경우는 혼돈적이다. 이 경우, 로렌즈 끌개의 하우스도르프 차원은 약 2.06 ± 0.01이다.
    • 그러나 \rho>24.74인 경우에도, 특수한 \rho의 값에서는 혼돈이 발생하지 않을 수 있다. 예를 들어, \rho=100인 경우 안정적 극한 주기 궤도가 존재한다.
  • 매우 큰 \rho의 값에 대하여 로렌즈 방정식은 다시 비혼돈적이게 된다. 구체적으로, \rho>313일 경우 거의 모든 궤도는 극한 주기 궤도로 수렴하게 된다.

다양한 매개 변수 값에서, 로렌즈 끌개는 다음과 같은 모양을 가진다. 여기서는 \beta=8/3, \sigma=10으로 고정시키고, \rho 값을 바꾼다.

Lorenz Ro9 0 m19 m40.jpg Lorenz Ro13-200px.png Lorenz Ro14 20 41 20-200px.png Lorenz Ro15-200px.png Lorenz Ro28-200px.png
ρ=9 ρ=13 ρ=14 ρ=15 ρ=28

역사[편집]

1963년 미국의 기상학자에드워드 노턴 로렌즈가 〈결정론적 비주기 흐름〉(영어: Deterministic nonperiodic flow)이라는 논문에서 이 방정식을 발표하였다.[1] 로렌즈 방정식의 유도는 프랑스 물리학자 앙리 베나르(Henri Bénard) (1874–1939)와 영국 물리학자 존 윌리엄 스트럿 레일리(1842–1919)의 이론들이 기초가 된다. 이 방정식의 초기 조건에 대한 민감성의 발견은 혼돈 이론의 시초로 여겨진다.

참고 문헌[편집]

  1. Lorenz, E. N. (1963년 3월). “Deterministic nonperiodic flow”. 《Journal of the Atmospheric Sciences》 (영어) 20 (2): 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2. 
  • Sparrow, C. (1982). 《The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors》. Applied Mathematical Sciences (영어) 41. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-5767-7. ISBN 978-0-387-90775-8. ISSN 0066-5452. 
  • Viana, M. (2000). “What’s new on Lorenz strange attractors?” (PDF). 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 22: 6–19. doi:10.1007/BF03025276. 
  • Yorke, J. A. and Yorke, E. D. "Metastable Chaos: The Transition to Sustained Chaotic Oscillation in a Model of Lorenz." J. Stat. Phys. 21, 263-277, 1979.
  • Williams, R. F. "The Structure of Lorenz Attractors." Publ. Math. IHÉS 50, 321-347, 1979.
  • Rand, D. "The Topological Classification of Lorenz Attractors." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 83, 451-460, 1978.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]