레비 확률 과정

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확률론에서, 레비 확률 과정(Lévy確率過程, 영어: Lévy stochastic process)은 모든 증분들이 서로 독립이며 정상적이며, 또한 어떤 연속성 조건을 만족시키는 확률 과정이다.

정의[편집]

확률 연속 확률 과정[편집]

균등 위상에 대한 보렐 가측 공간으로 간주한 어떤 균등 공간이라고 하자. 가 어떤 위상 공간이라고 하자.

확률 과정 이 다음 조건을 만족시킨다면, 확률 연속 확률 과정(確率連續確率過程, 영어: stochatically continous stochastic process)이라고 한다.

  • 의 임의의 측근 에 대하여, 이다.

예를 들어, 만약 유클리드 공간일 경우, 이 조건은 다음과 같다.

  • 임의의 에 대하여,

무한 분해 가능 과정[편집]

보렐 가측 공간으로 여겨진 위상군이라고 하자. 전순서가 주어진 가환 모노이드(예를 들어, , , , 등)라고 하자.

확률 과정 이 다음 조건을 만족시킨다면, 무한 분해 가능 확률 과정(無限分解可能確率過程, 영어: infinitely divisible stochastic process)이라고 한다.

  • (증분의 독립성) 임의의 에 대하여, 은 서로 독립확률 변수의 족이다.
    • 특히, 일 경우, 은 상수이므로 자명하게 모든 확률 변수에 대하여 독립이다.
  • (증분의 정상성) 임의의 에 대하여, 확률 분포확률 분포와 같다.
    • 특히, 일 경우, 이다.

여기서 ‘증분’(영어: increment)이란 에 대한 확률 변수 를 뜻한다. 아벨 군에서 군 연산을 덧셈으로 표기할 경우, 이는 와 같이 표기된다.

레비 과정[편집]

모든 위상군은 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다.

위상군 를 표본 공간으로 삼고, 음이 아닌 실수 집합 를 지표 공간으로 삼은 확률 과정

이 확률 연속 확률 과정이자 무한 분해 가능 확률 과정이라면, 레비 확률 과정이라고 한다.

성질[편집]

모든 레비 확률 과정은 마르코프 과정이다.

레비-힌친 공식[편집]

값의 레비 확률 과정의 확률 분포는 다음과 같은 특성 함수에 의하여 주어진다.

여기서

  • 는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 선형 이동을 나타낸다.
  • 는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 위너 확률 과정 성분의 분산을 나타낸다.
  • 아이버슨 괄호이다.
  • 위의 시그마-유한 측도이다.

즉, 레비 확률 과정의 확률 분포에 의하여 결정된다.

[편집]

위너 확률 과정은 레비 확률 과정이다. 이 경우 거의 어디서나 0이 된다.

역사[편집]

폴 피에르 레비의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

  • Applebaum, David (2004년 12월). “Lévy processes — from probability to finance and quantum Groups” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 51 (11): 1336–1347. ISSN 1088-9477. 
  • Applebaum, David (2004). 《Lévy Processes and Stochastic Calculus》 (영어). Cambridge University Press. 
  • Sato, Ken-Iti (2011). 《Lévy processes and infinitely divisible distributions》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0521553025. 
  • Kyprianou, Andreas E. (2014). 《Fluctuations of Lévy processes with applications. Introductory lectures》 2판. Springer-Verlag. ISBN 978-3642376313. 

외부 링크[편집]