랭글랜즈 쌍대군

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수학에서, 랭글랜즈 쌍대군(영어: Langlands dual group)은 주어진 군에서 과 쌍대근(coroot)을 맞바꾼 군이다.

정의[편집]

가약 리 군 (즉, 리 대수가 반단순 리 대수아벨 리 대수의 직합인 경우)가 주어졌다고 하자. 이러한 리 군은 근 데이터(영어: root datum) 로 (동형사상을 무시하면) 유일하게 정의된다. 여기서

  • 극대 원환면지표들의 격자이다. (즉, 극대 원환면폰트랴긴 쌍대군이다.) 이를 무게 격자(weight lattice)라고 한다.
  • 는 리 대수 근계이다.
  • 의 쌍대 격자다. 이를 쌍대 무게 격자(coweight lattice)라고 한다.
  • 의 쌍대근계(coroot system)이다. 즉, 에 대해 이다.

근 데이터는 가약 리 군을 심지어 유한 아벨 부분군까지 정확히 나타내므로, 딘킨 도표보다 더 많은 정보를 담고 있다.

이러한 근 데이터가 주어졌다면, 군 랭글랜즈 쌍대군 는 근 데이터에서 무게 격자와 쌍대 무게 격자를, 근계와 쌍대근계를 맞바꾼 가약 리 군이다. 즉, 의 근 데이터는

이다.

복소수체 말고도, 다른 체에 대한 대수군의 경우도 랭글랜즈 쌍대군을 정의할 수 있다.

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원환면[편집]

콤팩트 아벨 리 군 의 경우, 이는 항상 벡터 공간을 격자로 나눈 꼴

로 나타낼 수 있다. 이 경우, 그 랭글랜즈 쌍대군은

이다. 이는 폰트랴긴 쌍대군과 전혀 다름에 주의하자. (이 경우, 폰트랴긴 쌍대군이다.)

단순 연결 콤팩트 리 군[편집]

단순 연결 콤팩트 리 군의 경우, 랭글랜즈 쌍대군은 원래 군과 비슷하나, 그 유한 아벨 군에 대한 몫이 다를 수 있다. 특히, 리 군의 범피복 공간은 그 리 군의 중심을 없앤 형태와 쌍대이다. 예외적으로, Bn과 Cn이 서로 쌍대이다.

구체적으로 다음과 같다.

단순 연결 콤팩트 리 군의 랭글랜즈 쌍대군
쌍대군

위 표에서, 중심이므로, 이를 각각 , 로 표기하였다.

응용[편집]

랭글랜즈 쌍대군은 갈루아 군보형 형식을 잇는 랭글랜즈 프로그램에 중요한 역할을 한다.

이론물리학에서, 랭글랜즈 쌍대군은 전기-자기 이중성에 등장한다. 구체적으로, 전기-자기 이중성에서 (전기) 게이지 군에 해당하는 자기 게이지 군은 랭글랜즈 쌍대군이다. 이를 통해 물리학으로 랭글랜즈 프로그램을 해석할 수 있다.[1] 이 사실은 안톤 카푸스틴(러시아어: Анто́н Капу́стин)과 에드워드 위튼이 발견하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Frenkel, Edward (2009). “Gauge Theory and Langlands Duality” (영어). arXiv:0906.2747. Bibcode:2009arXiv0906.2747F. 
  2. Kapustin, Anton; Edward Witten (2006). “Electric–magnetic duality and the geometric Langlands program” (영어). arXiv:hep-th/0604151. Bibcode:2006hep.th....4151K. 

바깥 고리[편집]