선 그래프

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그래프 이론에서, 선 그래프(線graph, 영어: line graph)는 어떤 그래프의 변들을 꼭짓점으로 삼고, 원래 그래프의 변의 인접 여부를 변으로 삼는 그래프이다.

정의[편집]

(무향 단순) 그래프 선 그래프 는 다음과 같은 그래프이다.

  • . 즉, 선 그래프의 꼭짓점은 원래 그래프의 변과 일대일 대응한다.
  • . 즉, 선 그래프의 변은 원래 그래프의 서로 인접한 한 쌍의 변과 일대일 대응한다.

성질[편집]

연결 성분 을 갖는 그래프의 선 그래프는 다음과 같다.

휘트니 정리(영어: Whitney theorem)에 따르면, 임의의 두 연결 그래프 , 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 이거나, 이거나, . 여기서 완전 그래프, 완전 이분 그래프이다.

이는 해슬러 휘트니가 증명하였다.

선 그래프의 유도 부분 그래프로 존재할 수 없는 9개의 그래프

임의의 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.[1][2]

  • 인 그래프 이 존재한다.
  • 는 9개의 특별한 그래프들을 유도 부분 그래프로 포함하지 않는다 (그림 참조).

선 그래프의 반복[편집]

유한 연결 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

  • 순환 그래프 이다 ().

임의의 유한 연결 그래프 에 대하여, 그래프의 열

은 다음 네 가지 가운데 하나의 현상을 보인다.[3]

  • 만약 가 순환 그래프라면 이는 항등열이다.
  • 만약 완전 이분 그래프 라면 이다.
  • 만약 경로 그래프 이라면 이므로 결국 공 그래프 이 된다.
  • 순환 그래프경로 그래프 또는 가 아니라면, 는 무한대로 발산한다.

연결 그래프가 아닌 경우, 각 연결 성분에 위 분류가 적용된다.

[편집]

예를 들어 아래 그래프 의 선 그래프 는 아래와 같다.

참고 문헌[편집]

  1. Beineke, L. W. (1968). 〈Derived graphs of digraphs〉. H. Sachs, H.-J. Voss, H.-J. Walter. 《Beiträge zur Graphentheorie》 (영어). Leipzig: Teubner. 17–33쪽. 
  2. Beineke, L. W. (1970). “Characterizations of derived graphs”. 《Journal of Combinatorial Theory》 (영어) 9 (2): 129–135. doi:10.1016/S0021-9800(70)80019-9. MR 0262097. 
  3. van Rooij, A. C. M.; Herbert Wilf (1965). “The interchange graph of a finite graph”. 《Acta Mathematica Hungarica》 (영어) 16 (3–4): 263–269. doi:10.1007/BF01904834. 

바깥 고리[편집]