라도 그래프

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그래프 이론에서, 라도 그래프(영어: Rado graph)는 사실상 유일한 가산 무한 무작위 그래프이다.

정의[편집]

라도 그래프는 여러 방법으로 정의할 수 있다.

무작위 그래프[편집]

집합 위에, 각 에 변이 존재하는지 여부를 무작위로 결정하자. 각 변은 독립 확률 변수이며, 각 변이 존재할 확률은 라고 하자.

만약 가산 무한 집합이라면, 이렇게 하여 얻는 그래프는 의 값에 관계 없이, 거의 확실하게 하나의 그래프와 동형이다. 이 그래프를 라도 그래프 라고 한다.

이진수를 통한 정의[편집]

라도 그래프의 이진수를 통한 정의

라도 그래프는 이진수를 사용하여 정의할 수 있다.

라도 그래프 의 꼭짓점 집합은 자연수의 집합이다.

두 꼭짓점 () 사이에 변이 존재하는지 여부는 다음과 같다.

  • 이진수 표기법에서 번째 자릿수가 1이라면, 이다.

여기서 자릿수는 오른쪽부터 세며, 가장 오른쪽의 자릿수를 0번째로 간주한다.

성질[편집]

라도 그래프의 지름(영어: diameter)은 2이다. 즉, 임의의 두 꼭짓점 사이에 길이 2 이하의 경로가 존재한다.

그래프 가 다음 조건을 만족시키면, 확대 성질(영어: extension property)을 갖는다고 한다.

  • 임의의 두 유한 집합 에 대하여, 만약 이라면, 모든 에 대하여 이며 모든 에 대하여 가 존재한다.

라도 그래프는 확대 성질을 갖는 유일한 가산 그래프이다.

확대 성질을 갖는 그래프는 임의의 가산 그래프를 유도 부분 그래프로 포함한다. 이는 수학적 귀납법으로 쉽게 보일 수 있다.

라도 그래프에서 유한 개의 꼭짓점 을 삭제하여도 라도 그래프와 동형이다.

마찬가지로, 유한 개의 변 을 삭제하여도 라도 그래프와 동형이다.

역사[편집]

빌헬름 아커만(독일어: Wilhelm Ackermann)이 1937년에 정의하였다.[1] 에르되시 팔레니 얼프레드(헝가리어: Rényi Alfréd)가 이 그래프가 유일한 무작위 그래프라는 것을 보였다.[2] 리하르트 라도가 1964년에 재발견하였으며, 모든 가산 그래프를 유도 부분 그래프로 포함한다는 것을 보였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. Ackermann, Wilhelm (1937). “Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 114 (1): 305–315. JFM 63.0828.04. Zbl 0016.19501. doi:10.1007/BF01594179. 
  2. Erdős, P.; A. Rényi (1963), “Asymmetric graphs”, 《Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae》 (영어) 14: 295–315, ISSN 0001-5954, MR 0156334, Zbl 0118.18901, doi:10.1007/BF01895716 
  3. Rado, Richard (1964). “Universal graphs and universal functions” (PDF). 《Acta Arithmetica》 (영어) 9: 331–340. ISSN 0065-1036. Zbl 0139.17303.