드무아브르의 공식

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수학에서, 드무아브르의 공식(영어: de Moivre’s formula)은 임의의 복소수극형식으로 나타내었을 때 성립하는 다음 등식을 의미한다. 이 식에서 i허수 단위를 뜻한다.

이 공식은 복소수와 삼각 함수간의 관계를 보여준다.

가 실수라는 가정하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면 만을 사용하여 을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라, 의 복소근을 쉽게 구할 수 있다.

유도[편집]

역사적으로 오일러의 공식보다도 더 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 이를 쉽게 유도할 수 있다.

지수 함수의 성질에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

그러면, 오일러의 공식에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

수학적 귀납법을 이용한 증명[편집]

세 가지 경우로 나누어 생각한다.

인 정수에 대하여, 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. 일 때, 이 등식은 참이다. 이제 일 때 다음의 식이 성립한다고 가정하자.

이제 일 때 식이 성립하는지를 확인하면,

이 식이 일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다.

이제 일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보면, 또는 라는 약속에 의하여 성립한다.

이제 일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보자. 우선 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 생각하여 보면,

이 식이 모든 정수에 대하여 성립한다는 사실을 알 수 있다.

코사인과 사인 부분을 각각 증명하는 방법[편집]

복소수의 성질에 의하여, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다. 만약 가 실수라면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\begin{alignat}"): {\begin{alignedat}2\cos {nx}&=\sum _{{i=0}}^{{\lfloor {\frac n2}\rfloor }}{{\tbinom {n}{2i}}}(-1)^{i}(\cos {x})^{{n-2i}}(\sin {x})^{{2i}}&&=\sum _{{i=0}}^{{\lfloor {\frac n2}\rfloor }}{{\tbinom {n}{2i}}}(\cos {x})^{{n-2i}}((\cos {x})^{2}-1)^{i}\\\sin {nx}&=\sum _{{i=0}}^{{\lfloor {\frac {n-1}2}\rfloor }}{{\tbinom {n}{2i+1}}}(-1)^{i}(\cos {x})^{{n-2i-1}}(\sin {x})^{{2i+1}}&&=(\sin {x})\sum _{{i=0}}^{{\lfloor {\frac {n-1}2}\rfloor }}{{\tbinom {n}{2i+1}}}(\cos {x})^{{n-2i-1}}((\cos {x})^{2}-1)^{i}\\\end{alignedat}}

이 식은 가 복소수일 때에도 양변이 정칙함수이므로, 그 성질에 의하여 성립한다. 위의 식이 실제로 성립하는지 확인해보기 위해 을 대입해보면,

구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\begin{alignat}"): {\begin{alignedat}2\cos {2x}&=(\cos {x})^{2}+((\cos {x})^{2}-1)&&=2(\cos {x})^{2}-1\\\sin {2x}&=2{\sin {x}}{\cos {x}}\\\cos {3x}&=(\cos {x})^{3}+3\cos {x}((\cos {x})^{2}-1)&&=4(\cos {x})^{3}-3\cos {x}\\\sin {3x}&=3(\cos {x})^{2}{\sin {x}}-(\sin {x})^{3}&&=3\sin {x}-4(\sin {x})^{3}\\\end{alignedat}}

에 대한 등식의 우변은, 실제로는 체비쇼프 다항식 의 값이다.

일반화[편집]

이 공식은 더 일반적으로 확장할 수 있다. 가 복소수라면, 와는 달리

여러값 함수(multivalued function)이다. 따라서

의 여러 값중 하나일 뿐이다.

복소평면위에 찍은 의 근.

활용[편집]

이 공식은 의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 만약 가 복소수라면, 이는 극형식으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

이 때 가 정수라면,

개의 서로 다른 근을 구할 때, 부터 까지의 값을 대입해주면 쉽게 그 값을 구할 수 있다.

역사[편집]

아브라암 드무아브르가 발견하였다.

참고 문헌[편집]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (p. 74).

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]