델 페초 곡면

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대수기하학에서, 델 페초 곡면(del Pezzo曲面, 영어: del Pezzo surface)은 사영 평면의 점들을 부풀려 얻을 수 있는 대수 곡면의 한 종류다.

정의[편집]

대수적으로 닫힌 체 K에 대하여, 델 페초 곡면은 다음 두 조건을 만족시키는 K-대수다양체 X이다.

분류[편집]

델 페초 곡면은 유리 곡면이다. 즉, 사영 평면쌍유리 동치이다. 델 페초 곡면 X차수(영어: degree) d반표준 인자(또는 표준 인자)의 제곱이며, 표준 인자의 자기 교차수와 같다.

d = (-K_X)^2 = K_X^2

모든 델 페초 곡면은 다음 가운데 정확히 하나와 동형이다.

사영 평면에서 9개 이상의 점들을 부풀리면 더 이상 반표준 인자가 풍부하지 않다. 예를 들어, 9개의 점을 부풀리면 반표준 인자의 자기 교차수가 0이다.

성질[편집]

델 페초 곡면들의 차수에 따른 목록은 다음과 같다. 아래 표에서, "(−1)-곡선"은 자기 교차수-1유리 곡선이며, 이러한 곡선들의 수는 (OEIS의 수열 A33541)에 수록되어 있다.

기호 차수 d (−1)-곡선의 수 피카르 군 모듈러스 공간의 차원 비고
\operatorname{dP}_8 1 240 \operatorname I_{1,8} 8 (−1)-곡선들은 E8근계와 대응
\operatorname{dP}_7 2 56 \operatorname I_{1,7} 6 분지선이 평면 4차 곡선인, 사영 평면의 2겹 피복 공간
\operatorname{dP}_6 3 27 \operatorname I_{1,6} 2 \mathbb P^3 속의 3차 곡면
\operatorname{dP}_5 4 16 \operatorname I_{1,5} 2 \mathbb P^4 속의 세그레 곡면 (=두 이차 곡면의 교차)
\operatorname{dP}_4 5 10 \operatorname I_{1,4} 0
\operatorname{dP}_3 6 6 \operatorname I_{1,3} 1
\operatorname{dP}_2 7 3 \operatorname I_{1,2} 1
\operatorname{dP}_1 8 1 \operatorname I_{1,1} 0 히르체브루흐 곡면
\mathbb P^1\times\mathbb  P^1 8 0 \operatorname{II}_{1,1} 0 두 개의 사영 직선의 곱 (이차 곡면)
\operatorname{dP}_0 9 0 \operatorname I_{1,0} 0 사영 평면 \mathbb P^2

(−1)-곡선[편집]

델 페초 곡면에서 (−1)-곡선(영어: (−1)-curve)은 자기 교차수가 −1이며, 표준 인자와의 교차수 역시 −1인 (기약) 곡선이다. 이들은 다음과 같다.

\pi\colon\operatorname{dP}_n\twoheadrightarrow\mathbb P^2

에서, \mathbb P^2세르 뒤틀림 층 O(1)당김H=\pi^*O(1)라고 하고, 부풀리기로 발생하는 예외적 인자들을 E_1,\dots,E_n이라고 하자. 이는 델 페초 곡면의 피카르 군

\operatorname{Pic}(\operatorname{dP}_n)=\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\{H,E_1,\dots,E_n\}\cong\mathbb Z^{n+1}

기저를 이룬다. 이 경우, 교차수는 다음과 같다.

E_i.E_j=-\delta_{ij}
E_i.H=0
H.H=1

표준 인자는 다음과 같다.

K=-3H+\sum_iE_i

인자

C=aH-\sum_{i=1}^nb_iE_i

가 (−1)-곡선을 이루려면, 다음 연립 디오판토스 방정식을 만족시켜야 한다.[1]

a^2-\sum_{i=1}^nb_i^2=-3a+\sum_{i=1}^nb_i=-1

이 디오판토스 방정식의 해는 n<9인 경우 다음과 같다.

a 0이 아닌 b_i 개수 해석
0 −1 n 예외 곡선
1 1, 1 \binom n2 부풀려진 두 점을 지나는 사영 직선
2 1, 1, 1, 1, 1 \binom n5 부풀려진 5개의 점을 지나는 원뿔 곡선
3 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 7\binom n7 하나의 2중점을 갖는 3차 유리 곡선. n=7,8인 경우에만 가능
4 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 56 세 개의 2중점을 갖는 4차 유리 곡선. n=8인 경우에만 가능
5 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1 28 6개의 2중점을 갖는 5차 유리 곡선. n=8인 경우에만 가능
6 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 8 7개의 2중점과 하나의 3중점을 갖는 6차 유리 곡선. n=8인 경우에만 가능

호지 수[편집]

델 페초 곡면 \operatorname{dP}_n사영 평면n부풀려 얻은 곡면이다. 따라서, 호지 수 가운데 h^{1,1}만이 n만큼 증가하고, 나머지 호지 수들은 사영 평면의 호지 수와 같다. 즉, \operatorname{dP}_n의 호지 수는 다음과 같다.

1
0 0
0 1+n 0
0 0
1

\mathbb P^1\times\mathbb P^1의 경우 두 사영 직선의 곱이므로 호지 수를 쉽게 계산할 수 있으며, 다음과 같다.

1
0 0
0 2 0
0 0
1

역사[편집]

나폴리의 수학자 파스콸레 델 페초(Pasquale del Pezzo)가 1880년대에 연구하였다.[2][3]

응용[편집]

델 페초 곡면은 이론 물리학에서 다양하게 등장한다. 델 페초 곡면은 거울 대칭의 중요한 예이다.[4] 델 페초 곡면은 또한 자이베르그 이중성에 사용되며,[5] M이론신비로운 이중성(영어: mysterious duality)에 등장한다.[6]

참고 문헌[편집]

  1. Várilly-Alvarado, Anthony (2010년 10월). “Arithmetic of del Pezzo surfaces” (영어). 
  2. del Pezzo, Pasquale (1885). “Sulle superficie dell ordine n immerse negli spazi di n+1 dimensioni” (이탈리아어). 《Rendiconto della Reale Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli》 24: 212-216. JFM 17.0514.01. 
  3. del Pezzo, Pasquale (1887). “Sulle superficie dell’nmo ordine immerse nello spazio di n dimensioni” (이탈리아어). 《Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo》 1 (1): 241–271. doi:10.1007/BF03020097. JFM 19.0841.02. 
  4. Auroux, Denis; Ludmil Katzarkov, Dmitri Orlov. “Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: Vanishing cycles and coherent sheaves” (영어). arXiv:math/0506166. Bibcode:2006InMat.166..537A. doi:10.1007/s00222-006-0003-4. 
  5. Herzog, Christopher P. “Seiberg duality is an exceptional Mutation” (영어). 《Journal of High Energy Physics》 2004 (8): 64. arXiv:hep-th/0405118. Bibcode:2004JHEP...08..064H. doi:10.1088/1126-6708/2004/08/064. 
  6. Iqbal, Amer; Neitzke, Andrew; Vafa, Cumrun (2002). “A mysterious duality” (영어). 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 5: 769-808. arXiv:hep-th/0111068. Bibcode:2001hep.th...11068I. 

바깥 고리[편집]