델 페초 곡면

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대수기하학에서, 델 페초 곡면(del Pezzo曲面, 영어: del Pezzo surface)은 사영 평면의 점들을 부풀려 얻을 수 있는 대수 곡면의 한 종류다.

정의[편집]

대수적으로 닫힌 체 에 대하여, 델 페초 곡면은 다음 두 조건을 만족시키는 -대수다양체 이다.

분류[편집]

델 페초 곡면은 유리 곡면이다. 즉, 사영 평면쌍유리 동치이다. 델 페초 곡면 X차수(영어: degree) d반표준 인자(또는 표준 인자)의 제곱이며, 표준 인자의 자기 교차수와 같다.

모든 델 페초 곡면은 다음 가운데 정확히 하나와 동형이다.

  • 사영 평면개의 점에서의 부풀리기 (). 보통 로 쓴다. 이 경우, 차수가 이며, 피카르 군은 홀 유니모듈러 격자 이다.
  • . 이 경우 차수가 8이며, 피카르 군은 짝 유니모듈러 격자 이다.

사영 평면에서 9개 이상의 점들을 부풀리면 더 이상 반표준 인자가 풍부하지 않다. 예를 들어, 9개의 점을 부풀리면 반표준 인자의 자기 교차수가 0이다.

성질[편집]

델 페초 곡면들의 차수에 따른 목록은 다음과 같다. 아래 표에서, "(−1)-곡선"은 자기 교차수유리 곡선이며, 이러한 곡선들의 수는 (OEIS의 수열 A33541)에 수록되어 있다.

기호 차수 (−1)-곡선의 수 피카르 군 모듈러스 공간의 차원 비고
1 240 8 (−1)-곡선들은 E8근계와 대응
2 56 6 분지선이 평면 4차 곡선인, 사영 평면의 2겹 피복 공간
3 27 2 속의 3차 곡면
4 16 2 속의 세그레 곡면 (=두 이차 곡면의 교차)
5 10 0
6 6 1
7 3 1
8 1 0 히르체브루흐 곡면
8 0 0 두 개의 사영 직선의 곱 (이차 곡면)
9 0 0 사영 평면

(−1)-곡선[편집]

델 페초 곡면에서 (−1)-곡선(영어: (−1)-curve)은 자기 교차수가 −1이며, 표준 인자와의 교차수 역시 −1인 (기약) 곡선이다. 이들은 다음과 같다.

에서, 세르 뒤틀림 층 당김라고 하고, 부풀리기로 발생하는 예외적 인자들을 이라고 하자. 이는 델 페초 곡면의 피카르 군

기저를 이룬다. 이 경우, 교차수는 다음과 같다.

표준 인자는 다음과 같다.

인자

가 (−1)-곡선을 이루려면, 다음 연립 디오판토스 방정식을 만족시켜야 한다.[1]

이 디오판토스 방정식의 해는 인 경우 다음과 같다.

0이 아닌 개수 해석
0 −1 예외 곡선
1 1, 1 부풀려진 두 점을 지나는 사영 직선
2 1, 1, 1, 1, 1 부풀려진 5개의 점을 지나는 원뿔 곡선
3 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 하나의 2중점을 갖는 3차 유리 곡선. 인 경우에만 가능
4 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 56 세 개의 2중점을 갖는 4차 유리 곡선. 인 경우에만 가능
5 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1 28 6개의 2중점을 갖는 5차 유리 곡선. 인 경우에만 가능
6 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 8 7개의 2중점과 하나의 3중점을 갖는 6차 유리 곡선. 인 경우에만 가능

호지 수[편집]

델 페초 곡면 사영 평면부풀려 얻은 곡면이다. 따라서, 호지 수 가운데 만이 만큼 증가하고, 나머지 호지 수들은 사영 평면의 호지 수와 같다. 즉, 의 호지 수는 다음과 같다.

1
0 0
0 1+n 0
0 0
1

의 경우 두 사영 직선의 곱이므로 호지 수를 쉽게 계산할 수 있으며, 다음과 같다.

1
0 0
0 2 0
0 0
1

역사[편집]

나폴리의 수학자 파스콸레 델 페초(Pasquale del Pezzo)가 1880년대에 연구하였다.[2][3]

응용[편집]

델 페초 곡면은 이론 물리학에서 다양하게 등장한다. 델 페초 곡면은 거울 대칭의 중요한 예이다.[4] 델 페초 곡면은 또한 자이베르그 이중성에 사용되며,[5] M이론신비로운 이중성(영어: mysterious duality)에 등장한다.[6]

참고 문헌[편집]

  1. Várilly-Alvarado, Anthony (2010년 10월). “Arithmetic of del Pezzo surfaces” (PDF) (영어). 
  2. del Pezzo, Pasquale (1885). “Sulle superficie dell ordine immerse negli spazi di dimensioni”. 《Rendiconto della Reale Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli》 (이탈리아어) 24: 212-216. JFM 17.0514.01.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 30) (도움말)
  3. del Pezzo, Pasquale (1887). “Sulle superficie dell’mo ordine immerse nello spazio di dimensioni”. 《Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo》 (이탈리아어) 1 (1): 241–271. doi:10.1007/BF03020097. JFM 19.0841.02.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 23) (도움말)
  4. Auroux, Denis; Ludmil Katzarkov, Dmitri Orlov. “Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: Vanishing cycles and coherent sheaves” (영어). arXiv:math/0506166. Bibcode:2006InMat.166..537A. doi:10.1007/s00222-006-0003-4. 
  5. Herzog, Christopher P. “Seiberg duality is an exceptional Mutation”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2004 (8): 64. arXiv:hep-th/0405118. Bibcode:2004JHEP...08..064H. doi:10.1088/1126-6708/2004/08/064. 
  6. Iqbal, Amer; Neitzke, Andrew; Vafa, Cumrun (2002). “A mysterious duality”. 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) 5: 769-808. arXiv:hep-th/0111068. Bibcode:2001hep.th...11068I. 

바깥 고리[편집]