다중극 전개

다중극 전개(多重極展開, multipole expansion)는 수학과 물리학에서 어떤 물체의 퍼텐셜이나 장을 그 세기에 따라 홀극, 쌍극, 사중극, 팔중극 따위로 전개한 것이다. 전자기학이나 일반 상대성 이론 등에서 쓰인다.

정의

어떤 부피 $S\subset \mathbb {R} ^{3}$가 생성하는 퍼텐셜 $\phi$가 다음과 같이 거리에 반비례한다고 하자.

$\phi (\mathbf {x} )=\int _{S}{\frac {\rho (\mathbf {y} )}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert }}\;d^{3}\mathbf {y}$

그렇다면 $S$ 안에 임의의 "중심" $\mathbf {y} _{0}$을 잡아, $\phi$를 다음과 같이 전개하는 것을 생각할 수 있다.

$\phi (\mathbf {x} )={\frac {\phi _{0}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}+{\frac {\phi _{1}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert ^{2}}}+{\frac {\phi _{2}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert ^{3}}}+\cdots +{\frac {\phi _{n}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert ^{n+1}}}+\cdots$.

여기서 $\phi _{0}$ 항을 홀극(-極, monopole), $\phi _{1}$ 항을 쌍극(雙極, dipole), $\phi _{2}$ 항을 사중극(四重極, quadrupole), $\phi _{3}$ 항을 팔중극(八重極, octupole), 일반적으로 $\phi _{n}$ 항을 $2^{n}$중극이라고 부른다. 이렇게 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 항은 다음과 같이 계산할 수 있다. 거리의 역수는 다음과 같이 르장드르 다항식 $P_{n}(x)$의 생성 함수이다.

${\frac {1}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert }}={\frac {1}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(\cos \theta )\left({\frac {\mathbf {y} -\mathbf {y} _{0}}{\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}}}\right)^{n}$.

여기서

$\theta =\arccos {\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0})\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {y} _{0})}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert \,\Vert \mathbf {y} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}$

는 $\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}$와 $\mathbf {y} -\mathbf {y} _{0}$ 사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.

$\phi _{n}=\int \Vert \mathbf {y} -\mathbf {y} _{0}\Vert ^{n}P_{n}(\cos \theta )\rho (\mathbf {y} )\;d^{3}\mathbf {y}$.

일반적으로 $P_{n}(\cos \theta )$는 다음과 같이 $n$차 텐서로 쓸 수 있다.

$P_{n}(\cos \theta )=\sum _{i_{1}=1}^{3}\sum _{i_{2}=1}^{3}\cdots \sum _{i_{n}=1}^{3}\left({\frac {\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}\right)_{i_{1}}\left({\frac {\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}\right)_{i_{2}}\cdots \left({\frac {\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}}{\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert }}\right)_{i_{n}}C_{i_{1}i_{2}i_{3}\cdots i_{n}}^{(n)}(\mathbf {y} -\mathbf {y} _{0})$.

즉, 편의상

$\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{0}\Vert =r$

$(\mathbf {x} -\mathbf {y} _{0})/r={\hat {\mathbf {r} }}$

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

$\phi ={\frac {C^{(0)}}{r}}+{\frac {{\hat {r}}^{i}C_{i}^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {{\hat {r}}^{i}{\hat {r}}^{j}C_{ij}^{(1)}}{r^{2}}}+\dotsb$.

여기서 $n$차 텐서 $C^{(n)}$을 $\phi$의 $2^{n}$중극자 모멘트라고 부른다.

참고 문헌

• Griffiths, David J. (1999). 《Introduction to Electrodynamics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0138053260. 
• Jackson, J. D. (1962, 1975, 1998). 《(영어)Classical Electrodynamics》 (영어). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1. OCLC 535998. 2013년 8월 21일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 8월 23일에 확인함. 
• Edmonds, A.R. (1957). 《(영어)Angular momentum in quantum mechanics》. Princeton University Press. ISBN 9780691025896. 

같이 보기

• 르장드르 다항식