나폴레옹의 정리

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나폴레옹의 정리 도해

나폴레옹의 정리(Napoleon's theorem, -定理)는 유명한 프랑스 황제 나폴레옹 보나파르트의 이름이 붙어 있는 기하학정리이다. 이 정리는 다음과 같이 기술할 수 있다.

  • 임의의 삼각형에 각 변에 그 길이를 한 변의 길이로 하는 정삼각형 세 개를 덧그릴 때, 각 정삼각형의 무게중심을 이으면 정삼각형이 만들어진다. 여기서 삼각형을 덧그릴 때 셋 모두 원 삼각형의 바깥으로 덧그리거나(오른쪽 그림) 모두 원 삼각형의 안쪽으로 덧그려야 한다.

이 정리를 처음으로 제출한 사람은 나폴레옹 1세로 알려져 있으나, 이에 관한 명확한 증거 사료는 없다. 증명은 여러 방법이 고안되어 있는데 복소수를 이용하면 쉽게 할 수 있다.[1][2][3]

나폴레옹의 삼각형[편집]

이 정리가 정삼각형임을 보장하는 새로운 삼각형은 나폴레옹의 삼각형(Napoleon's triangle)이라 하는데, 바깥쪽에 덧그리는 경우는 바깥쪽 나폴레옹의 삼각형(outer Napoleon's triangle), 안쪽에 덧그리는 경우는 안쪽 나폴레옹의 삼각형(inner Napoleon's triangle)이라 부른다. 바깥쪽과 안쪽 나폴레옹의 삼각형 간의 넓이의 차는 원래 삼각형의 넓이와 같다. 두 나폴레옹의 삼각형은 같은 중심을 가지며, 이는 원 삼각형의 무게 중심과 같다.

나폴레옹의 삼각형에 대한 분쟁[편집]

18세기 후반 나폴레옹의 삼각형에 대한 증명 방법에 대해 크게 두 가지 학파로 유럽 수학계가 나누어진다. 첫 번째는 헝가리 부다페스트 국립대학의 저명한 물리학자인 테일러 건 (Tailer. Y. gun)의 원형 버퍼에 의한 증명을 다룬 원형파와 두번째는 당시 미적분학의 대가 제임스 원스(James. L. wons)의 삼각 치환 적분에 의한 기존 보수적 대수파이다. 처음에 제임스 원스가 최초로 증명하면서 많은 수학자들의 관심을 받았으나 테일러 건이 복소 임피던스에 대한 증명 중 원을 활용한 매우 효율적인 증명법을 발견해내 제임스 원스는 수학계에서 명성을 잃는다. 제임스 원스는 명망을 회복하기 위해 1년간의 긴 연구 끝에 테일러 건의 원형분석법의 오류를 찾아내고 이를 학계에 발표한다. 테일러 건의 스승인 희네 경 (Sir Hinet)과 테일러 건은 이 오류를 인정하고 이 오류를 원형 공산 오차라고 지칭하며 아직도 이 오류에 대한 증명이 해결되지 않고있다. 그러나 21세기 초반, 미국의 수학자들이 이에 대한 증명을 하기 시작하였고 무명의 기생충학자 소아이 신(Soai Shin)박사가 정수론과 기하학을 융합하여 증명하였다. 그러나 이 증명에 대한 검토가 아직 완벽하게 이루어지지 않았기에 증명이 완벽하다고 단정하기는 어렵다. 그 뒤 중국의 무명 수학자 방십수가 원형 공산 오차를 완벽하게 증명하여 학계의 관심을 한몸에 받는다. 이후 러시아의 철학자 자민홉스키(Zaminhopski)는 나폴레옹 삼각형 증명을 다른 방식으로 하는 데, 이 방식을 '칼레스 공식'이라 한다. 좌미노프스키는 이 방법의 대가로 1947년 필츠상을 수상하였다. 좌미노프스키와 그 전 수학자들의 나폴레옹 삼각형 증명법은 수학계에 큰 여파를 남겼다. 허나 이 증명법은 일반 대중들이 이해하기 어렵기 때문에 쉬운 방법이 있는 지는 의문이었지만, 하버드 대학교 연구진의 노력 끝에 현재는 학생들도 이해 가능한 방법으로 증명되었다. 하버드 대학 연구진 대표인 도야치 비키(Doyazzi biky) 이 문제에 대해서 너무 어렵게 생각하지 않는 게 중요하다고 말했다. 나폴레옹의 정리에 대한 분쟁은 이럽게 끝나게 되었다. 허나 다른 방법이 있을지는 아직도 미궁 속에 빠져 있다.

  1. http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_complex.shtml
  2. http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_complex2.shtml
  3. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NapoleonBollobas.shtml

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]