꼭짓점 연산자 대수

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수학에서, 꼭짓점 연산자 대수(-點演算子代數, 영어: vertex operator algebra)는 등각 장론의 특정 국소적 연산자와 유사한 구조를 지니는 수학적 구조이다. 대략, 벡터를 행렬로랑 급수에 대응시키는 연산을 지닌 벡터 공간이다. 리 대수에서, 구조 상수를 로랑 급수로 일반화한 것으로도 생각할 수 있다.

정의[편집]

꼭짓점 연산자 대수(vertex operator algebra) 는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

  • 정수 차수 붙은(graded) 복소 벡터 공간이다. 각 차수 부분공간 은 유한 차원이다. 는 임의의 정수다.
  • 에서 형식적 로랑 급수 로 가는 선형 사상이다. 이는 로도 생각할 수 있다. 즉, 일종의 곱셈 연산이다. 이를 상태-연산자 사상(state–operator map)이라고 한다. 편의상 이면 으로 표기한다. 여기서 이다. 간혹 에 대하여, 를 생략하고 로 쓰기도 한다.
  • 는 벡터 공간의 한 원소다. 이를 진공 상태라고 한다.
  • 등각 상태(conformal state)이다. 통상적으로 으로 표기한다.

이는 다음과 같은 공리를 만족하여야 한다.

  • (차수의 성질) , 이면 이다. 또한, 이면 이다.
  • (진공의 성질) 단위 연산자이다. 또한, 모든 에 대하여 이다.
  • 모든 에 대하여, 이 충분히 크다면 이다.
  • (병진 연산자의 표현) 임의의 에 대하여, 이다.
  • (비라소로 대수) . 여기서 는 비라소로 대수의 중심 전하(central charge)라고 한다.
  • (야코비 항등식) . 여기서 디랙 델타 함수다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]