기저 (위상수학)

일반위상수학에서, 위상 공간의 기저(基底, 영어: base, basis)는 모든 열린집합을 합집합을 통해 생성할 수 있는 열린집합들이다. 많은 경우, 열린집합을 직접 정의하는 것보다 기저나 부분 기저를 통해 위상을 기술하는 것이 더 편리하다.

정의

집합 $X$에 대해, 다음 성질을 만족하는 $X$의 부분 집합들의 족 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$를 $X$의 기저라고 한다.

• ${\mathcal {B}}$는 $X$의 덮개이다. 즉, $\textstyle \bigcup {\mathcal {B}}=X$이다. 즉, 임의의 $x\in X$에 대하여 $x\in B$를 만족하는 $B\in {\mathcal {B}}$가 존재한다.
• 임의의 $B,B'\in {\mathcal {B}}$에 대하여, $B\cap B'$의 덮개를 이루는 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}$가 존재한다 (즉, $\textstyle B\cap B'=\bigcup {\mathcal {S}}$). 다시 말해, 임의의 $B,B'\in {\mathcal {B}}$ 및 $x\in B\cap B'$에 대하여, $x\in B''\subseteq B\cap B'$인 $B''\in {\mathcal {B}}$가 존재한다.

이때 기저 ${\mathcal {B}}$에 의해 생성되는 위상 (열린집합들의 족) ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$는 다음과 같다.

${\mathcal {T}}=\left\{\bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}\right\}$

즉, 기저 ${\mathcal {B}}$로 생성되는 위상 ${\mathcal {T}}$는 ${\mathcal {B}}$의 부분 집합들의 합집합들로 구성된다. 다시 말해, $X$의 부분 집합 $U\subseteq X$가 열린집합일 필요 충분 조건은, 임의의 $x\in U$에 대하여 $x\in B\subseteq U$를 만족하는 $B\in {\mathcal {B}}$가 존재하는 것이다.

부분 기저

집합 $X$ 속의 임의의 집합족 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$가 주어졌다고 하자. 이때, ${\mathcal {S}}$로부터 생성되는 기저(영어: base generated by ${\mathcal {S}}$) ${\mathcal {B}}$는 다음과 같다.

${\mathcal {B}}=\left\{\bigcap {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}},\;|{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}\right\}$

즉, ${\mathcal {S}}$로부터 생성되는 기저는 ${\mathcal {S}}$의 유한 교집합들로 구성된다. 이때 ${\mathcal {S}}$를 ${\mathcal {B}}$의 부분 기저(部分基底, subbase/subbasis)라 한다.

성질

위상 공간의 기저는 유일하지 않다. 예를 들어, 실수 집합의 위상 공간에 대응하는 기저는 열린구간들이 될 수 있고, 혹은 끝점이 유리수인 열린구간들이나 반대로 끝점이 무리수인 열린구간들도 기저가 될 수 있다.

예

비이산 위상

비이산 공간 $X$은 $\{X\}$을 기저로 하며, 이 기저는 공집합을 부분 기저로 한다.

이산 위상

이산 공간 $X$은 한원소 집합들의 족 $\{\{x\}\colon x\in X\}$을 기저로 한다.

거리 위상

거리 공간 $X$은 (거리 위상을 부여하면) 열린 공들의 족

$\{B_{r}(x)\colon r>0,\;x\in X\}$

을 기저로 한다. 또한 반지름이 유리수인 열린 공들의 족

$\{B_{r}(x)\colon r\in \mathbb {Q} ^{+},\;x\in X\}$

역시 이 위상의 기저이다. 이처럼 위상 공간의 기저는 유일하지 않다.

순서 위상

전순서 집합 $X$은 (순서 위상을 부여하면) 열린구간들의 족

$\{(a,b),(a,\infty ),(-\infty ,a)\colon a,b\in X\}$

을 기저로 한다. 또한 이 기저는 끝점에 무한대를 포함하는 열린구간들의 족

$\{(a,\infty ),(-\infty ,a)\colon a\in X\}$

을 부분 기저로 한다.

외부 링크

• “Base”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological basis”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Topological base”. 《nLab》 (영어).