기브스 역설

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기브스 역설(Gibbs paradox)은 열역학에서 기체의 확산에서 관찰되는 불연속적 속성에 관한 것이다.

부피가 V 인 상자 내부에 있는 분자 수가 N 개인 이상기체의 엔트로피 S 는 다음과 같이 쓸 수 있다. (k 는 볼츠만 상수 )

S = Nk \ln V + {3 \over 2}Nk

이제 부피가 V 인 정육면체 모양의 상자 한가운데에 칸막이가 있고 N 개의 이상기체 입자가 한쪽 방에 모여있다고 하자. 다른 쪽 방은 비어있다. 이제 칸막이를 치우면 모여있던 입자는 퍼져나간다. 칸막이를 넣고 치우는 행위는 계의 엔트로피에 영향을 주지 않는다고 하자. 이 때 엔트로피의 변화를 계산하면

\triangle S = S_\text{final} - S_\text{initial} =  Nk \ln V + { 3 \over 2 } Nk - \left( Nk \ln {V \over 2} + {3 \over 2} Nk \right) = Nk \ln 2

이제는 한쪽 방에는 N 개의 입자가 있고 다른 쪽 방에는 다른 입자 N 개가 있는 상황을 생각해보자. 그러면 엔트로피의 변화는 다음과 같이 계산되어야 할 것이다.

\triangle S = 2Nk \ln V + { 3 \over 2 } 2Nk - 2\left( Nk \ln {V \over 2} + {3 \over 2} Nk \right) = 2Nk \ln 2

마지막으로 2N 개의 입자가 좌우방에 각각 N 개씩 놓여있는 경우를 생각해보자. 그러면 엔트로피 변화는 위와 같이 계산될 수 있으므로 엔트로피의 변화가 2Nk ln 2 만큼 있다. 하지만 이 경우는 칸막이를 다시 하여 원래대로 상태를 되돌릴 수 있으므로 엔트로피의 변화는 0 이어야 한다. 여기서 역설이 발생하며 미국 물리학자 Josiah Gibbs에 의해 처음 논의된 것으로 Gibbs paradox라고 한다. 이 역설은 단지 동일한 입자의 교환만 변화한 시스템의 모든 상태는 같은 상태로 생각된다는 구분불가능에 대한 이해로 극복될 수 있다. 이에 따르면 입자 N 개를 교환하는 방법은 N ! 개로 처음의 계산은 N ! 개의 상태가 중복되어 세어진 것이다. 따라서 이를 반영하면 엔트로피 S 는 다음과 같이 수정할 수 있다.

S = Nk \ln \left[ {V \over {Nh^3}} \left( 2\pi m kT \right)^{3/2} \right]+{5\over 2}Nk

이제 엔트로피의 변화를 계산해보면

\triangle S = \left\{ 2Nk \ln \left[ {V \over {2Nh^3}} \left( 2\pi m kT \right)^{3/2} \right] + {5\over 2}2Nk \right\} - 2 \left\{ Nk \ln \left[ { V\over {2Nh^3}} \left( 2\pi m kT \right)^{3/2} \right] + {5\over 2} Nk \right\} = 0

이 됨을 확인할 수 있다.

참고문서[편집]