그로텐디크-리만-로흐 정리

알렉산더 그로텐디크가 그로텐디크-리만-로흐 정리에 대한 노트에 그린 낙서

대수기하학에서 그로텐디크-리만-로흐 정리(定理, 영어: Grothendieck–Riemann–Roch theorem)는 히르체브루흐-리만-로흐 정리의 상대적인 일반화이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 체 $K$
• $K$ 위의 두 개의 준사영(영어: quasiprojective) 매끄러운 스킴 $X\to \operatorname {Spec} K$ 및 $Y\to \operatorname {Spec} K$
• $K$-스킴의 고유 사상 $f\colon X\to Y$.

이 위에 다음과 같은 구조들을 정의하자.

• $X$ 또는 $Y$ 위의 저우 환 $\operatorname {A} (X)$, $\operatorname {A} (Y)$. 여기에 유리수 계수를 취하여 $\operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$를 정의할 수 있다.
  • 저우 환 사이의 밂 사상 $f_{*}\colon \operatorname {A} (X)\to \operatorname {A} (Y)$. 이는 귀진 사상의 일종이며, 올에 대한 적분에 해당한다. 유리수 계수의 경우에도 마찬가지로 귀진 사상 $f_{*}\colon \operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \operatorname {A} (Y)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$가 존재한다.
  • 토드 특성류 $\operatorname {Td} (X)\in \operatorname {A} (X)\otimes \mathbb {Q}$, $\operatorname {Td} (Y)\in \operatorname {A} (Y)\otimes \mathbb {Q}$. 이는 $X$의 접다발의 천 특성류 $\operatorname {c} (X)\in \operatorname {A} (X)$의 성분들의 유리수 계수 선형 결합이다.
  • 천 지표 $\operatorname {ch} \colon \operatorname {K} _{0}(X)\to \operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$. (천 특성류는 정수 계수 저우 환에 정의되지만, 천 지표를 정의하려면 유리수가 필요하다.)
• $X$ 또는 $Y$ 위의 연접층들의 범주 $\operatorname {Coh} (X)$, $\operatorname {Coh} (Y)$
  • $X$ 위의 연접층의 $f$에 대한 상 $f_{*}\colon \operatorname {Coh} (X)\to \operatorname {Coh} (Y)$. 이는 왼쪽 완전 함자이다.
  • $X$ 위의 연접층의 $f$에 대한 상 $f_{*}\colon \operatorname {Coh} (X)\to \operatorname {Coh} (Y)$의 오른쪽 유도 함자 $\operatorname {R} ^{\bullet }f_{*}\colon \operatorname {Coh} (X)\to \operatorname {Coh} (Y)$.
• $X$ 위의 연접층들의 그로텐디크 군 $\operatorname {K} _{0}(X)$. 이는 K이론에서 0차 K군이다.
  • 그로텐디크 군에서도 연접층의 상(의 유도 함자)를 정의할 수 있다. 즉, $\operatorname {R} ^{\bullet }f_{*}\colon \operatorname {K} _{0}(X)\to \operatorname {K} _{0}(Y)$.
  • 그로텐디크 군에서는 부호를 붙인 직합 $f_{!}=\bigoplus _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {R} ^{i}f_{i}\colon \operatorname {K} _{0}(X)\to \operatorname {K} _{0}(Y)$를 정의할 수 있다.

정리하자면, 다음과 같은 사상이 존재한다.

${\begin{matrix}\operatorname {K} _{0}(X)&{\xrightarrow {\operatorname {ch} }}&\operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} &{\xrightarrow {.\operatorname {Td} (X)}}&\operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \\{\scriptstyle f_{!}}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle f_{*}}&&\downarrow {\scriptstyle f_{*}}\\\operatorname {K} _{0}(Y)&{\xrightarrow[{\operatorname {ch} }]{}}&\operatorname {A} (Y)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} &{\xrightarrow[{.\operatorname {Td} (Y)}]{}}&\operatorname {A} (Y)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \end{matrix}}$

그렇다면, 이 그림이 가환하는지 여부를 물을 수 있다. 일반적으로 왼쪽 정사각형은 가환하지 않지만, 큰 직사각형 전체는 가환 그림을 이룬다. 이를 그로텐디크-리만-로흐 정리라고 한다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

$\operatorname {ch} (f_{!}(-)).\operatorname {Td} (Y)=f_{*}(\operatorname {ch} (-).\operatorname {Td} (X))$

역사

알렉산더 그로텐디크가 1956년 경 장피에르 세르에게 보낸 편지에서 증명하였다. 그로텐디크는 1957년에 이 정리에 대하여 강의하였으나 출판하지 않았다. 장피에르 세르와 아르망 보렐은 그로텐디크의 증명을 정리하여 1958년에 출판하였다.

외부 링크

• “Riemann-Roch theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Grothendieck-Riemann-Roch theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “How does one understand GRR?” (영어). Math Overflow. 
• “Applications of Grothendieck-Riemann-Roch” (영어). Math Overflow. 
• “How does $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ measure ramification and Grothendieck-Riemann-Roch” (영어). Math Overflow. 

같이 보기

• 리만-로흐 정리
• 히르체브루흐-리만-로흐 정리
• 아티야-싱어 정리