국소 연결 공간

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일반위상수학에서, 국소 연결 공간(局所連結空間, 영어: locally connected space)은 모든 점이 연결 근방을 갖는 위상 공간이다.

정의[편집]

위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 국소 연결 공간이라고 한다.

위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 국소 경로 연결 공간(局所經路連結空間, 영어: locally path connected space)이라고 한다.

성질[편집]

다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

CW 복합체국소 축약 가능 공간 ⊊ 국소 경로 연결 공간 ⊊ 국소 연결 공간

국소 경로 연결 공간 속에서 다음이 성립한다.

국소 연결 공간의 몫공간은 국소 연결 공간이다.[1]:163

(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성은 다음과 같은 함의 관계를 가진다.

경로 연결 연결이지만 경로 연결이 아님 연결이 아님
국소 경로 연결 가능 불가능 가능
국소 연결이지만, 국소 경로 연결이 아님 가능 가능 가능
국소 연결이 아님 가능 가능 가능

[편집]

위상수학자의 사인 곡선연결 국소 연결 공간이지만, 경로 연결 공간이 아니며, 국소 경로 연결 공간도 아니다.
빗 공간은 경로 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다.

(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성의 함의 관계에 대한 대표적인 예는 다음과 같다.

경로 연결 연결이지만
경로 연결이 아님
국소 경로 연결 유클리드 공간 (불가능)
국소 연결이지만
국소 경로 연결이 아님
비가산 집합여가산 위상(영어: cocountable topology)의 [0,1]^2 위의 사전식 순서 위상
국소 연결이 아님 빗 공간 위상수학자의 사인 곡선

(연결 공간이 아닌 국소 경로 연결 공간 · 국소 연결 국소 경로 비연결 공간 · 국소 비연결 공간의 예를 얻으려면, 위 표의 예들의 분리합집합을 취하면 된다. 예를 들어, 두 개의 위상수학자의 사인 곡선분리합집합은 국소 연결 공간이 아닌 비연결 공간이다.)

위상수학자의 사인 곡선연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 연결 성분열린집합이 아니기 때문이다.

빗 공간(영어: comb space)은 \mathbb R^2의 다음과 같은 부분 공간이다.

\{0\}\times[0,1]\cup[0,1]\times\{0\}\cup\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\}\times[0,1]

이는 경로 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다.

유리수부분 공간 위상은 국소 연결 공간도, 연결 공간도 아니다.

참고 문헌[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 

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같이 보기[편집]