구성 가능 전체

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집합론에서, 구성 가능 전체(構成可能全體, 영어: constructible universe)는 1차 논리로 정의할 수 있는 집합고유 모임이다. 폰 노이만 전체는 생성 단계에서 모든 부분 집합을 포함하지만, 구성가능한 전체에서는 그 중 1차 논리형식 언어로 정의할 수 있는 부분 집합만을 포함한다.

정의[편집]

집합 구성 가능 멱집합(영어: constructible power set) 는 유한 개의 매개변수를 이용하여 1차 논리 술어로 정의할 수 있는 의 부분 집합들의 집합족이다. 즉, 이항 연산 에 대한, 개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 술어 에 대하여, 다음과 같다.

임의의 순서수 집합 에 대하여, 집합 고유 모임 을 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의하자.

구성 가능 전체 이다. 구성 가능 집합(構成可能集合, 영어: constructible set)은 의 원소인 집합이다.

이 정의는 폰 노이만 전체의 정의와 유사하나, 멱집합 대신 구성 가능 멱집합 가 사용된다.

구성 가능성 공리는 모든 집합이 구성 가능하다는 공리이다.

성질[편집]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

임의의 자연수 에 대하여 이며, 따라서 역시

이다. 임의의 순서수 에 대하여,

이다. 만약 구성 가능성 공리가 성립하고, 또한 순서수 에 대하여 라면,

이다. (예를 들어, 이는 도달 불가능한 기수일 경우 성립한다.)

모형 이론적 성질[편집]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이며, 폰 노이만 전체 내부 모형이다. 특히, 에서 선택 공리가 성립하지 않아도, 선택 공리를 만족시킨다. 이는 은 정의 가능한 정렬 순서가 존재하기 때문이다. 구체적으로, 의 정렬 순서가 주어졌다면, 의 원소는 의 유한 개의 원소들 및 (사전식으로 정렬되는) 1차 논리 술어로서 명시되므로, 이로서 정렬할 수 있다. 이러한 정렬 순서가 주어졌다면, 선택 공리에서 요구되는 선택 함수는 단순히 이 정렬 순서에 대한 최솟값으로 정의할 수 있다.

또한, 에서는 다음 명제들이 성립한다.

은 다음 조건을 만족시키는, 체르멜로-프렝켈 집합론의 가장 작은 표준 모형이다.

  • 의 내부 모형이다.
  • 모든 순서수들을 포함한다.

역사[편집]

쿠르트 괴델선택 공리일반화 연속체 가설체르멜로-프렝켈 집합론과 모순되지 않음을 보이기 위하여 1938년에 정의하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Gödel, Kurt (1938). “The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어). doi:10.1073/pnas.24.12.556. JFM 64.0035.01. JSTOR 87239. PMC 1077160. PMID 16577857. Zbl 0020.29701. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]