구면 달꼴

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대원 두 개를 가는 검은 선으로 나타냈고, 구면 달꼴(초록색)의 두꺼운 검은 선으로 윤곽을 칠했다. 이 기하학은 대각의 큰 쪽 달꼴을 정의한다: {2}π-θ, 그리고 {2}2π-θ이다.

구면 기하학에서, 구면 달꼴대척점에서 만나는 두 개의 대원 절반을 경계로 가지는 구면의 영역이고, 이면각이 θ인 이각형 {2}θ의 예시이다.[1] 용어 "달꼴"은 달을 뜻하는 라틴어 루나에서 파생되었다.

구면 쐐기꼴은 구의 중심을 지나는 두 평면과 구의 표면으로 이루어진 공간의 부피이다.[2]

특성[편집]

대원은 의 가능한 원(원주) 중에서 가장 큰 원이다; 각각은 구면을 동일한 두 절반으로 나눈다. 대원 두 개는 항상 두 반대쪽 극에 있는 점에서 교차한다.

대원의 일반적인 예시는 북극남극에서 만나는 구의 경도선(자오선)이다.

구면 달꼴은 두 개의 대칭면을 가진다. 이것은 각을 나누는 두 개의 달꼴로 이등분 할 수 있고, 적도선을 따라 두 개의 구면 직각삼각형으로 이등분 할 수 있다.

표면적[편집]

한 바퀴의 달꼴, {2}

구면 달꼴의 표면적은 2θ R2이다. 이 때, R은 구의 반지름이고 θ는 두 개의 대원 절반 사이의 이면각을 라디안으로 나타낸 것이다.

이 각이 2π 라디안(360°)일 때 — 예를 들어, 두번째 대원의 반이 한 바퀴를 돌아서 사이의 달꼴이 구면을 덮어서 구면 일각형처럼 보일 때 — 이 구면 달꼴의 면적의 공식은 4πR2로, 구의 표면적과 같이 나온다.

예시[편집]

호소헤드론은 구면을 달꼴로 채우는 테셀레이션이다. 정 n각 호소헤드론 {2,n}은 n개의 동일한 π/n 라디안의 달꼴로 이루어져있다. n각 호소헤드론은 이면체 대칭 Dnh, [n,2], (*22n) 4n차를 가진다. 각 달꼴 스스로는 순환 대칭 C2v, [2], (*22) 4차를 가진다.

각 호소헤드론은 적도를 따라서 동일한 구면 삼각형 두 개로 이등분 할 수 있다.

정호소헤드론 족
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
호소헤드론 Spherical digonal hosohedron.png Spherical trigonal hosohedron.png Spherical square hosohedron.png Spherical pentagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical heptagonal hosohedron.png Spherical octagonal hosohedron.png Spherical enneagonal hosohedron.png Spherical decagonal hosohedron.png
쌍각뿔
타일링
Spherical digonal bipyramid.png Spherical trigonal bipyramid.png Spherical square bipyramid.png Spherical pentagonal bipyramid.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical heptagonal bipyramid.png Spherical octagonal bipyramid.png Spherical enneagonal bipyramid.png Spherical decagonal bipyramid.png

천문학[편집]

달의 위상은 구면 달꼴을 반원과 반-타원의 교차 영역으로 투사한다.

지구에서 볼 수 있는 의 시각적으로 밝은 부분은 구면 달꼴이다. 교차하는 두 대원중 첫 번째는 달의 밝은 부분과 어두운 부분의 명암 경계선이다. 두번째 대원은 지구에서 보이는 부분과 보이지 않는 부분을 나누는 지구의 명암 경계선이다. 구면 달꼴은 지구에서 보았을 때 초승달모양으로 보인다.

n구 달꼴[편집]

3차원 구에 평행한 선(빨간색), 자오선(파란색), 초자오선(초록색)의 극사영이다. 달꼴은 파란 자오선 호의 쌍 사이에 존재한다.

달꼴은 높은 차원의 구에서도 잘 정의할 수 있다.

4차원에서 3차원 구는 일반적인 구이다. 이것은 정이각형 달꼴을 이면각이 θ와 φ인 {2}θ,φ로 포함할 수 있다.

예를들어 정호소토프 {2,p,q}는 꼭짓점 도형이 구면 플라톤의 다면체 {p,q}인 이각형 면 {2}2π/p,2π/q을 가진다. 각 {p,q}의 꼭짓점은 호소토프의 모서리를 정의하고 인접한 두 모서리 쌍은 달꼴 면을 정의한다. 또는 더 구체적으로, 정 호소토프 {2,4,3}은 꼭짓점이 2개, 정육면체 {4,3}의 180°호로 이루어진 모서리 8개, 인접한 모서리의 달꼴 면 {2}π/4,π/3 12개, 그리고 호소헤드론 세포 {2,p}π/3 6개를 가진다.

참조[편집]

  1. Weisstein, Eric Wolfgang. “Spherical Lune”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
  2. Weisstein, Eric Wolfgang. “Spherical Wedge”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
  • Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 130, 1987.
  • Harris, J. W. and Stocker, H. "Spherical Wedge." §4.8.6 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 108, 1998.
  • Gellert, W.; Gottwald, S.; Hellwich, M.; Kästner, H.; and Künstner, H. (Eds.). VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed. New York: Van Nostrand Reinhold, p. 262, 1989.

같이 보기[편집]