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구간의 분할

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수학에서, 실직선 위의 구간 [a, b]분할(分割, 영어: partition)이란 다음의

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

관계에 있는 실수 x0, x1, x2, ..., xn로 구성된 유한 수열이다.

리만 합에서 사용하는 구간의 태그된 분할. 분할 자체는 아래의 회색 선으로 표시하였고, 그 중 한 부분구간을 빨간색으로 나타내었다.

다르게 말하면, 콤팩트 구간 I의 분할이란 I의 시작점에서 끝점까지 순증가하는 수들로 구성된 수열이다. 각 구간 [xi, xi + 1]을 분할의 부분구간이라 한다.

분할의 세분

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구간 [a,b]의 분할 PQ에 대해, QP의 모든 점을 포함할 때 QP세분(영어: refinement)이라 하고 QP보다 섬세하다고 한다. 또 두 분할 PQ에 대하여 두 분할의 모든 점들로 구성된 분할을 공통세분이라 하고 P ∨ Q라 쓴다.[1] 어떤 분할이 다른 분할의 세분일 때, 더 섬세한 분할이 더 크다고 순서 관계를 정의하면 이는 부분 순서가 된다.

분할의 노름

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아래처럼 주어진 분할

x0 < x1 < x2 < ... < xn

노름(영어: norm) 또는 메시(영어: mesh)란 각 부분구간들의 길이의 최댓값

max{|xixi−1| : i = 1, ... , n }

이다.[2][3]

태그된 분할

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주어진 구간에 대해 태그된 분할(영어: tagged partition)이란[4]i에 대해 다음 조건

xitixi + 1

을 만족하는 수들로 구성된 유한 수열 t0, ..., tn − 1을 가지는 분할이다. 다시 말해 태그된 분할이란 각 부분구간들에서 점을 한 개씩 선택한 분할로, 기존 분할과 동일하게 노름을 정의한다. 태그된 분할 PQ에 대해 QP의 분할 위의 모든 점들과 함께 모든 태그들, 즉 각 부분구간에서 선택한 점들을 모두 포함할 때 QP의 세분이라 한다.

리만 합

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구간의 분할은 리만 적분과 리만-스틸체스 적분에서 사용된다. 주어진 구간의 분할이 더 섬세할수록 분할의 노름은 0에 가까워지고, 따라서 리만 합리만 적분값에 수렴한다.[5]

같이 보기

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각주

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  1. Brannan, D. A. (2006). 《A First Course in Mathematical Analysis》. Cambridge University Press. 262쪽. ISBN 9781139458955. 
  2. Hijab, Omar (2011). 《Introduction to Calculus and Classical Analysis》. Springer. 60쪽. ISBN 9781441994882. 
  3. Zorich, Vladimir A. (2004). 《Mathematical Analysis II》. Springer. 108쪽. ISBN 9783540406334. 
  4. Dudley, Richard M.; Norvaiša, Rimas (2010). 《Concrete Functional Calculus》. Springer. 2쪽. ISBN 9781441969507. 
  5. Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2006). 《A Course in Calculus and Real Analysis》. Springer. 213쪽. ISBN 9780387364254. 

참고 문헌

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  • Gordon, Russell A. (1994). 《The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Ralph Henstock》. Graduate Studies in Mathematics, 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.