빛원뿔 좌표계

이론물리학에서 빛원뿔 좌표계(빛圓뿔座標系, 영어: lightcone coordinate system) 또는 광추 좌표계(光錐座標系)란 민코프스키 공간의 좌표계의 하나다. 이 좌표계에서는 공간의 한 특정한 방향을 차별하여, 그 방향에 대한 인과성 구조를 명확히 드러낸다.

정의

$(1,D-1)$차원 민코프스키 공간의 직교 좌표계 $(x^{0},x^{1},\dots ,x^{D-1})$를 생각하자. 직교 좌표계에서는 그 계량 텐서는

$ds^{2}=-(dx^{0})^{2}+\sum _{i=1}^{D-1}(dx^{i})^{2}$

가 된다. 여기서

$x^{\pm }=(x^{1}\pm x^{0})/{\sqrt {2}}$

를 정의하면, 빛원뿔 좌표계는 $(x^{+},x^{-},x^{2},\dots ,x^{D-1})$이다. 빛원뿔 좌표계에서 계량 텐서는 다음과 같다.

$ds^{2}=2dx^{+}dx^{-}+\sum _{i=2}^{D-1}(dx^{i})^{2}$

이 경우,

$x_{\pm }=2x^{\mp }$

가 된다.

무질량 입자의 1차 양자화

빛원뿔 좌표계는 등각 불변이므로, 질량이 0인 입자나 막 따위를 다룰 때 용이하다.

예를 들어, $(1,D-1)$차원 시공간에서의 무질량 입자를 생각하자. 질량이 0이므로, 이는

$\operatorname {SO} (2,D)$

등각 대칭을 갖는다.

이 입자의 작용은

$S=\int \mathrm {d} t\,{\frac {1}{2}}e(t)^{2}{\dot {x}}^{\mu }(t){\dot {x}}_{\mu }(x)$

이다. 여기서 $t\in \mathbb {R}$는 세계선의 임의의 좌표이며,

$x^{\mu }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{1,D-1}$

는 입자의 위치를 나타내는 $t$의 함수이며,

${\dot {x}}^{\mu }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x^{\mu }$

는 $t$에 대한 속력이며,

$e\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$

는 세계선 위의 필바인이다. 그러나 이 작용에서는 등각 대칭이 명백히 드러나지 못한다.

이를 위하여, 가상의 “시간” 차원과 “공간” 차원을 추가하여, 민코프스키 공간 $\mathbb {R} ^{2,D}$을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 적을 수 있다.^{:§2, 2715}

$S=\int \mathrm {d} t\left({\frac {1}{2}}{\dot {X}}^{M}{\dot {X}}_{M}-{\frac {1}{2}}\lambda X^{M}X_{M}\right)$

$X^{M}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2,D}$

$\lambda \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

이는 다음과 같은 게이지 대칭을 갖는다.

$\delta X(t)=\epsilon (t){\dot {X}}^{M}(t)-{\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}(t)X^{M}$

$\delta \lambda (t)=\epsilon (t){\dot {\lambda }}(t)+2{\dot {\epsilon }}(t)\lambda (t)+{\frac {1}{2}}{\overset {\cdots }{\epsilon }}(t)$

이제, 보조장 $\lambda$의 운동 방정식은

$X^{M}X_{M}=0$

이다. 새로 추가한 두 차원의 빛원뿔 좌표를

$X^{M}X_{M}=X^{\mu }X_{\mu }+2X_{+}X_{-}$

라고 하자. 그렇다면,

$X_{-}=-{\frac {X^{\mu }X_{\mu }}{2X_{+}}}$

가 된다. 이제

$e=X_{+}$

$x^{\mu }=X^{\mu }/X_{+}$

로 놓으면,

$S={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,{\dot {X}}^{M}{\dot {X}}_{M}={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(ex^{\mu }){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(ex_{\mu })-{\dot {e}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(x^{\mu }x_{\mu }e)\right)={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,e^{2}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }$

가 되어, 원래 작용을 얻게 된다.