계단 함수

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수학에서, 계단 함수(階段函數, 영어: step function) 또는 조각마다 상수 함수(-常數函數, 영어: piecewise-constant function)는 정의역을 적절한 유한 개의 구간으로 분할하였을 때 각 구간에서 상수 함수가 되는 함수이다.

정의[편집]

실수 부분 집합 지시 함수는 다음과 같다.

계단 함수는 다음과 같은 꼴의 함수를 뜻한다.

여기서 는 실수들이며, 는 실수 구간들이다.

성질[편집]

연산에 대한 닫힘[편집]

두 계단 함수의 합과 곱은 여전히 계단 함수이다. 이에 따라 구간 위의 계단 함수의 집합은 실수체 위의 대수를 이룬다.

미분[편집]

계단 함수는 유한 개의 점을 제외하면 미분 가능하며, 모든 미분 가능점에서의 미분은 0이다.

적분[편집]

계단 함수의 부정적분조각마다 일차 함수이다.

계단 함수의 르베그 적분은 다음과 같다.

여기서 르베그 측도이다.

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함수

는 계단 함수이다.

외부 링크[편집]