상태 (함수해석학)

C* 대수 이론에서, 상태(狀態, 영어: state)는 C* 대수 위에 정의된, 특정한 부등식을 만족시키는, 작용소 노름 1의 복소수 값 유계 작용소이다. 이는 대략 C* 대수를 비가환 공간으로 여겼을 때 일종의 “확률 측도”로 여길 수 있다. 양자역학의 밀도 행렬을 추상화한 개념이다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성(Гельфанд-Наймарк-Segal構成, 영어: Gelfand–Naimark–Segal construction, 약자 GNS 구성)에 따라, 상태들은 C* 대수의, 복소수 힐베르트 공간 위의 표현(의 동치류)와 일대일 대응한다.

정의

(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 $(A,^{*})$ 위의 복소수 선형 변환

$f\colon A\to \mathbb {C}$

가 다음 조건을 만족시킨다면, 상태라고 한다.^{:27, §1.6:107, Definition 6.2}

• 임의의 $a\in A$에 대하여, $f(a^{*}a)\in [0,\infty )$이다.
• $f(1)=1$이다.

C* 대수 $A$의 상태들의 공간을 $\operatorname {State} (A)\subseteq A^{*}$라고 하자 ($A^{*}$는 $A$의 연속 쌍대 공간). 이는 콤팩트 볼록 집합이며, 크레인-밀만 정리에 의하여 이는 극점들을 갖는다. 극점인 상태들을 순수 상태(純粹狀態, 영어: pure state)^{:29, §1.6}, 아닌 상태들을 혼합 상태(混合狀態,영어: mixed state)라고 한다. (이 용어들은 양자역학에서 유래하였다.)

*-표현

C* 대수 $A$의 *-표현(*-表現) $({\mathcal {H}},\rho )$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\mathcal {H}}$는 복소수 힐베르트 공간이다.
• $\rho \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$는 복소수 대합 대수의 준동형이다. 즉, 환 준동형이며, 복소수 선형 변환이며, 대합과 항등원을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
  • 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $\rho (a+b)=\rho (a)+\rho (b)$
  • 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $\rho (ab)=\rho (a)\rho (b)$
  • 임의의 $a\in A$ 및 $\lambda \in \mathbb {C}$에 대하여, $\rho (\lambda a)=\lambda \rho (a)$
  • 임의의 $a\in A$에 대하여, $\rho (a^{*})=\rho (a)^{*}$ (우변의 $^{*}$는 에르미트 수반)
  • $\rho (1)=1$ (항등 함수)

$A$의 *-표현 $({\mathcal {H}},\rho )$에 대하여, 만약 $v\in {\mathcal {H}}$가 다음 조건을 만족시킨다면 순환 벡터라고 한다.^{:29, §1.6}

$\{\rho (a)x\colon a\in A\}$는 ${\mathcal {H}}$의 (노름으로 정의된 거리 위상에 대한) 조밀 집합이다.

성질

기초적 성질

복소수 대합 대수 $A$ 위의 상태 $f\colon A\to \mathbb {C}$가 주어졌을 때, 에르미트 형식

$B_{f}\colon A\times A\to \mathbb {C}$

$B_{f}\colon (a,b)\mapsto f(a^{*}b)$

을 정의할 수 있다. 이는 양의 준정부호이므로, 코시-슈바르츠 부등식

$|B_{f}(a,b)|^{2}\leq B_{f}(a,a)B_{f}(b,b)\qquad \forall a,b\in A$

가 성립한다. 즉,

$|f(a^{*}b)|^{2}\leq f(a^{*}a)f(b^{*}b)\qquad \forall a,b\in A$

이다.

C* 대수 위의 상태의 작용소 노름은 항상 1이다.^{:28, Proposition 1.6.2} 특히, 항상 연속 함수를 이룬다.

증명:

우선, 다음 보조 정리를 증명하자.

① C* 대수 $A$의 자기 수반 원소 $a\in A$가 $\|a\|\leq 1$이라면, $b^{2}=1-a$인 자기 수반 원소 $b\in A$가 존재한다.

①의 증명: $a$로 생성되는 (1을 포함하는) 부분 C* 대수 $B\subseteq A$를 생각하자. 이는 가환 C* 대수이며, 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대한 $B\cong {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )$로 표현되며, 이 표현 아래 $x$는 치역이 $[-1,1]$의 부분 집합인 연속 함수 $f\colon X\to \mathbb {C}$에 대응된다. 이 경우, ${\sqrt {1-f}}$에 대응되는 원소가 $b\in B\subseteq A$이다.

임의의 C* 대수 $A$ 위의 임의의 상태 $f\colon A\to \mathbb {C}$를 생각하자. $f\colon 1_{A}\mapsto 1_{\mathbb {C} }$이므로 $\|f\|\geq 1$이다. 즉, $\|f\|\leq 1$임을 보이면 족하다.

임의의 $a\in A$에 대하여, $\|a\|\leq 1$이라고 하자. 이제 $|f(a)|\leq 1$임을 보이면 족하다. 그런데 코시-슈바르츠 부등식에 의하여

$|f(a)|^{2}\leq f(a^{*}a)$

이다. 즉, $f(a^{*}a)\leq 1$, 즉 $f(1-a^{*}a)\geq 0$임을 보이면 족하다. 그런데 이는 보조 정리 ①에 의하여 참이다.

분해

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• C* 대수 $A$
• 유계 작용소 $f\colon A\to \mathbb {C}$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

• 임의의 자기 수반 원소 $a\in A$에 대하여, $f(a)\in \mathbb {R}$

그렇다면, $f$는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다.

$f=\alpha _{+}f_{+}-\alpha _{-}f_{-}$

여기서

• $f_{+},f_{-}\colon A\to \mathbb {C}$는 $A$ 위의 두 상태이다.
• $\alpha _{+},\alpha _{-}\in [0,\infty )$는 음이 아닌 두 실수이며, $\|f\|=\alpha _{+}+\alpha _{-}$이다.

정규 상태

폰 노이만 대수 $A$ 위의 상태 $f\colon A\to \mathbb {C}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 정규 상태(正規狀態, 영어: normal state)라고 한다.^{:§12.6, Theorem 12.14}

• $f\upharpoonright \operatorname {cl} \operatorname {ball} _{A}(0,1)$는 약한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
• $f\upharpoonright \operatorname {cl} \operatorname {ball} _{A}(0,1)$는 강한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
• 임의의 *-표현 $({\mathcal {H}},\rho )$에 대하여, $\rho (a)=\operatorname {tr} (T\rho (a))$가 성립하는 대각합류 작용소 $T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$가 존재한다. (이 경우, $T$를 $f$의 밀도 행렬이라고 한다.)

겔판트-나이마르크-시걸 구성

겔판트-나이마르크-시걸 구성에 따르면, 다음이 성립한다.

① C* 대수 $A$의 상태 $f\colon A\to \mathbb {C}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 *-표현 $({\mathcal {H}},\rho )$ 및 그 속의 순환 벡터 $v\in {\mathcal {H}}$가 존재한다.^{:28, Theorem 1.6.3}

$\forall a\in A\colon f(a)=\langle \rho (a)v,v\rangle$

② 위 조건을 만족시키는, 순환 벡터가 부여된 두 *-표현 $({\mathcal {H}},\rho ,v)$, $({\mathcal {H}}',\rho ',v')$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 유니터리 변환 $U\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}'$이 존재한다.^{:31, Exercise 1.6.B}

$\forall a\in A\colon \rho '(a)=U\rho (a)U^{*}$

$\forall a\in A\colon \rho '(a)v'=U\rho (a)v$

즉, C* 대수의 상태들은 순환 벡터가 부여된 *-표현들의 (②에 대한) 동치류들과 일대일 대응한다.

구성:

구체적으로, 상태 $f\colon A\to \mathbb {C}$에 대응하는 *-표현 및 순환 벡터는 다음과 같다.^{:73, Theorem I.2.14} 우선, 양쪽 아이디얼

${\mathfrak {I}}=\{a\in A\colon f(a^{*}a)=0\}$

를 정의하면, 복소수 힐베르트 공간은

${\mathcal {H}}={\overline {A/{\mathfrak {I}}}}$

이다. (위의 줄은 내적 공간의 완비화를 뜻한다.) 그 위의 내적은 다음과 같다.

$\langle a+{\mathfrak {I}},b+{\mathfrak {I}}\rangle _{\mathcal {H}}=f(ab)\qquad \forall a,b\in A$

그 위의 *-표현은 다음과 같다.

$\rho \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$

$\rho \colon a\mapsto (b+{\mathcal {I}}\mapsto ab+{\mathfrak {I}})$

그 위의 순환 벡터는 다음과 같다.

$v=1_{A}+{\mathfrak {I}}\in {\mathcal {H}}$

순수 상태 ⇔ 기약 *-표현

C* 대수 $A$의 *-표현 $({\mathcal {H}},\rho )$가 다음 두 조건을 만족시킨다면 기약 *-표현(영어: irreducible *-representation)이라고 한다.^{:16, Exercise 1.3.D}

• ${\mathcal {H}}\neq \{0\}$
• 임의의 닫힌 부분 벡터 공간 $V\subseteq {\mathcal {H}}$에 대하여, 만약 $\{0\}\neq V\neq {\mathcal {H}}$라면, $\rho (a)V\neq V$인 $a\in A$가 존재한다.

이 경우, 겔판트-나이마르크-시걸 구성 아래, 순수 상태들은 기약 *-표현(의 동치류)들과 일대일 대응한다.^{:30, Theorem 1.6.6}

예

임의의 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}=\mathbb {C} ^{N}$ 및 모든 $N\times N$ 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 ${\mathcal {A}}=\operatorname {Mat} (N,N;\mathbb {C} )$를 생각하자. 이 경우, 대각합이 1인 에르미트 행렬 $\rho$를 생각하자.

$\operatorname {tr} \rho =1$

$\rho =\rho ^{\dagger }$

또한, $\rho$의 모든 고윳값이 음이 아닌 실수라고 하자. 그렇다면, 함수

$\operatorname {Mat} (N,N;\mathbb {C} )\to \mathbb {C}$

$O\mapsto \operatorname {tr} (\rho O)=\operatorname {tr} (O\rho )$

는 $\operatorname {Mat} (N,N;\mathbb {C} )$ 위의 상태를 이룬다.

이 가운데 순수 상태들은 $\rho =|v\rangle \langle v|$ ($v\in \mathbb {C} ^{N}$는 단위 벡터)의 꼴의 상태들이다. 이 경우

$\phi _{|v\rangle \langle v|}\colon O\mapsto \operatorname {tr} (O|v\rangle \langle v|)=\langle v|O|v\rangle$

이다.

역사

상태의 개념은 양자역학에서 유래하였다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성은 이즈라일 겔판트와 마르크 아로노비치 나이마르크가 1943년에 겔판트-나이마르크 정리를 증명하는 데 사용하였으나, 명시적으로 정의하지 않았다. 이후 어빙 에즈라 시걸(영어: Irving Ezra Segal)이 겔판트와 나이마르크의 논문에서 이 개념을 추출하였다.

외부 링크

• Moslehian, Mohammad Sal. “Positive linear functional”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “State on an operator algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Gelfand-Naimark-Segal construction”. 《nLab》 (영어). 
• “Positive linear functional”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “States and representations of C*-algebras”. 《The Vortex》 (영어). 2011년 7월 7일. 
• “States in C*-algebras and their origin in physics” (영어). Math Overflow.