가측 함수

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측도론에서, 가측 함수(可測函數, 영어: measurable function)는 원상에 대한 가측성을 보존하는 함수이다.

정의[편집]

가측 공간 (X,\mathcal F), (Y,\mathcal G) 사이의 가측 함수 f\colon X\to Y는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

  • 모든 S\in\mathcal G에 대하여, f^{-1}(S)\in\mathcal F

만약 공역유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수 \mathbb R\to\mathbb R"는 보통 (\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))을 의미한다.

성질[편집]

두 가측 함수

f\colon(X_1,\mathcal F_1)\to(X_2,\mathcal F_2)
g\colon(X_2,\mathcal F_2)\to(X_3,\mathcal F_3)

가 주어졌을 때, 그 합성 함수

g\circ f\colon(X_1,\mathcal F_1)\to(X_3,\mathcal F_3)

역시 가측 함수이다.

보렐 가측 함수[편집]

XY보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다.

(X,\mathcal F)가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.

  • 두 가측함수 f,g\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))에 대하여, f+gf\cdot g는 가측함수이다.
  • 가측함수의 열 f_1,f_2,\dots\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))의 점별 극한(pointwise limit)은 가측함수이다.
  • 모든 르베그 적분 가능 함수 X\to\mathbb R는 가측함수이다.

르베그 가측 함수[편집]

임의의 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb Rg\colon\mathbb R\to[0,\infty)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • f\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))는 가측 함수이다.
  • 다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다.
\operatorname{mid}\{-g,f,g\}\colon x\mapsto\begin{cases}
g(x)&f(x)\ge g(x)\\
f(x)&-g(x)\le f(x)\le g(x)\\
-g(x)&f(x)\le-g(x)
\end{cases}

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정의에 따르면 확률 변수표본 공간에서의 가측함수이다.

모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 A\subset\mathbb R가 가측 집합이 아닌 경우, 지시함수 1_A(x)는 불가측함수이다.

참고 문헌[편집]

  • Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley. ISBN 0-471-00710-2. 

바깥 고리[편집]