가우스 합성

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이차 형식 이론에서, 가우스 합성(Gauß合成, 영어: Gauss composition)은 2항 이차 형식의 동치류 집합에 정의될 수 있는 아벨 군 구조이다.

정의[편집]

이차 형식[편집]

가환환 위의 2차 자유 가군 위의 두 이차 형식

이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 동치라고 하자.

이에 따라, 이차 형식은 사실 임의의 1차 -자유 가군 의 값을 갖는 함수

로 생각할 수 있다. 이와 같은 함수들의 공간은

이다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 위의 계수 2의 -국소 자유 가군층 -가역 가군층 이 주어졌을 때, 위의 값의 이차 형식

-가군층 단면이다.

판별식[편집]

만약 국소환일 경우, 그 위의 2차 자유 가군 위의 이차 형식

의 판별식은 이다.

보다 일반적으로, 스킴 위의, 2차 -국소 자유 가군층 위의, -가역층 값의 이차 형식

의 판별식 는 국소적으로 위와 같이 주어지며, 대역적으로 이는 다음과 같은 -가역층의 대역적 단면을 이룬다.

이차 대수[편집]

가환환 위의 이차 대수(영어: quadratic algebra) 는 다음과 같은 가환 -결합 대수이다.

  • 임의의 소 아이디얼 에 대하여 는 2차 -자유 가군이다. (즉, 는 계수 2의 -평탄 가군이다.)

위의 이차 대수 위의 가군 이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각합 가능 가군(영어: traceable module)이라고 한다.

  • 위의 계수 2의 평탄 가군이다.
  • 임의의 원소 에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 위의 이차 대수층-가환 대수층 가운데 2차 -국소 자유 가군층을 이루는 것이다. 이차 대수층 위의 대각합 가능 가군층 -가군층 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.

  • -가군층으로서 계수 2의 국소 자유 가군층이다.
  • 임의의 열린집합 의 단면 에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.

-가군 이 주어졌을 때, 텐서곱 을 정의할 수 있으므로, -가군들의 동형류들은 가환 모노이드를 이룬다. -가역 가군 (즉, 1차원 자유 가군)의 경우, 이는 아벨 군을 이룬다.

판별식[편집]

스킴 위의 이차 대수층 위의 대각합 가능 가군층 판별식은 대각합 사상

행렬식

이다. 이는 -가역층 의 대역적 단면이다.

가우스 합성[편집]

임의의 가환환 및 그 위의 2차 자유 가군 에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

  • 위의 이차 형식들 동치류들의 집합
  • 위의 이차 대수 와 그 위의 대각합 가능 가군 들의 동치류들의 집합

구체적으로, 이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 -가군 준동형을 생각하자.

이는 -가군

의 원소를 정의하며, 이는 위에 정의된,

값의 이차 형식을 이룬다.

또한, 이 대응성은 판별식을 보존한다. 이차 형식 가 원시 이차 형식(영어: primitive quadratic form)인 것은 -가역층을 이루는 것과 같으며, 따라서 주어진 판별식의 원시 이차 형식들은 텐서곱에 따라 아벨 군을 이룬다. 이를 가우스 합성이라고 한다.

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정수환의 경우[편집]

위의 이차 형식의 -동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다.

  • 2차 -환 . 이는 그 판별식 으로부터 다음과 같이 결정된다.
  • -가군 가운데 아벨 군으로서 이며, 가 같은 것 (둘째 조건은 -아이디얼일 경우 자동적으로 충족된다).

특히, 일 때, 은 항상 아이디얼과 동형이다. 그러나 일 경우 일반적으로 아이디얼로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 상수 이차 형식의 경우 이며 , 이다.

위의 이차 형식의 -동치류를 분류하려면, 방향 을 사용하여야 한다.[1]

정역의 경우[편집]

가환환 정역일 때, 계수의 비퇴화 2항 이차 형식의 경우, 이에 대응하는 이차 대수 -가군 에 대하여, 은 항상 아이디얼과 동형이다. 따라서, 이 경우 가군 대신 아이디얼들의 유군을 사용할 수 있다.

역사[편집]

카를 프리드리히 가우스가 1801년에 도입하였다.[2] 가우스는 정수 계수 2항 이차 형식에 대하여 연구하였으나, 이는 그 뒤 임의의 가환환 계수[3]스킴 계수[4]의 2항 이차 형식에 대하여 일반화되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Bhargava, Manjul (2007). 〈Higher composition laws and applications〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006. Volume 2》 (영어). European Mathematical Society. 271–294쪽. 
  2. Gavss, Carolus Fridericus (1801). 《Disqvisitiones arithmeticae》 (라틴어). 라이프치히: in commissis apvd Gerh. Fleischer, Jun. 
  3. Kneser, Martin (1982년 12월). “Composition of binary quadratic forms”. 《Journal of Number theory》 (영어) 15 (3): 406–413. ISSN 0022-314X. doi:10.1016/0022-314X(82)90041-5. 
  4. Wood, Melanie Eggers Matchett (2011년 1월 30일). “Gauss composition over an arbitrary base”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 226 (2): 1756–1771. Bibcode:2010arXiv1007.5285M. ISSN 0001-8708. arXiv:1007.5285. doi:10.1016/j.aim.2010.08.018. 

외부 링크[편집]