가산 백색 가우스 잡음 (Additive white Gaussian noise, AWGN )은 정보 이론 에서 자연에서 발생하는 많은 무작위 과정의 효과를 모방하는 데 사용되는 기본 잡음 모델이다. 수정자는 특정 특성을 나타낸다.
가산 은 정보 시스템에 내재될 수 있는 모든 잡음에 더해지기 때문이다.백색 은 정보 시스템의 주파수 대역 전체에 걸쳐 균일한 전력 스펙트럼 밀도 를 갖는다는 개념을 의미한다. 이는 흰색 빛 에 대한 비유로, 가시광선 스펙트럼의 모든 주파수에서 균일한 방출을 통해 구현될 수 있다.가우스 는 시간 영역에서 평균 시간 영역 값이 0인 정규 분포 를 갖기 때문이다(가우시안 과정 ).광대역 잡음은 도체 내 원자의 열 진동(열 잡음 또는 열잡음 이라고 함), 푸아송 잡음 , 지구 및 기타 따뜻한 물체에서 발생하는 흑체 방사 , 태양과 같은 천체 소스 등 많은 자연 잡음 소스에서 발생한다. 확률론 의 중심 극한 정리 는 많은 무작위 과정의 합이 가우스 또는 정규 분포를 갖는 경향이 있음을 나타낸다.
AWGN은 통신에 대한 유일한 장애가 일정한 스펙트럼 밀도 (대역폭 의 헤르츠 당 와트 로 표현됨)와 정규 분포 의 진폭을 갖는 광대역 또는 백색 잡음 의 선형 추가인 채널 모델 로 자주 사용된다. 이 모델은 페이딩 , 진동수 선택성, 간섭 , 비선형성 또는 분산 을 고려하지 않는다. 그러나 이러한 다른 현상들을 고려하기 전에 시스템의 기본 동작에 대한 통찰력을 얻는 데 유용한 간단하고 다루기 쉬운 수학적 모델을 생성한다.
AWGN 채널은 많은 인공위성 및 심우주 통신 링크에 대한 좋은 모델이다. 이는 다중 경로, 지형 차단, 간섭 등으로 인해 대부분의 지상 링크에 대한 좋은 모델은 아니다. 그러나 지상 경로 모델링의 경우, AWGN은 다중 경로, 지형 차단, 간섭, 지상 클러터 및 현대 무선 시스템이 지상 운용에서 겪는 자체 간섭 외에도 연구 중인 채널의 배경 잡음을 시뮬레이션하는 데 일반적으로 사용된다.
AWGN 채널은 이산 시간 이벤트 인덱스
i
{\displaystyle i}
Y
i
{\displaystyle Y_{i}}
Y
i
{\displaystyle Y_{i}}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
Z
i
{\displaystyle Z_{i}}
Z
i
{\displaystyle Z_{i}}
독립적이고 동일하게 분포 하며 분산
N
{\displaystyle N}
정규 분포 에서 추출된다.
Z
i
{\displaystyle Z_{i}}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
Z
i
∼
N
(
0
,
N
)
{\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,N)\,\!}
Y
i
=
X
i
+
Z
i
.
{\displaystyle Y_{i}=X_{i}+Z_{i}.\,\!}
잡음
N
{\displaystyle N}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})}
1
k
∑
i
=
1
k
x
i
2
≤
P
,
{\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}\leq P,}
여기서
P
{\displaystyle P}
채널 용량 은 다음과 같다.
C
=
max
{
I
(
X
;
Y
)
:
f
s.t.
E
(
X
2
)
≤
P
}
{\displaystyle C=\max \left\{I(X;Y):f{\text{ s.t. }}E\left(X^{2}\right)\leq P\right\}\,\!}
여기서
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
I
(
X
;
Y
)
{\displaystyle I(X;Y)}
차분 엔트로피 로 표현하면:
I
(
X
;
Y
)
=
h
(
Y
)
−
h
(
Y
∣
X
)
=
h
(
Y
)
−
h
(
X
+
Z
∣
X
)
=
h
(
Y
)
−
h
(
Z
∣
X
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I(X;Y)=h(Y)-h(Y\mid X)\\[5pt]={}&h(Y)-h(X+Z\mid X)\\[5pt]={}&h(Y)-h(Z\mid X)\end{aligned}}\,\!}
그러나
X
{\displaystyle X}
Z
{\displaystyle Z}
I
(
X
;
Y
)
=
h
(
Y
)
−
h
(
Z
)
{\displaystyle I(X;Y)=h(Y)-h(Z)\,\!}
가우스 분포의 차분 엔트로피 를 평가하면:
h
(
Z
)
=
1
2
log
(
2
π
e
N
)
{\displaystyle h(Z)={\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!}
X
{\displaystyle X}
Z
{\displaystyle Z}
Y
{\displaystyle Y}
E
(
Y
2
)
=
E
(
(
X
+
Z
)
2
)
=
E
(
X
2
)
+
2
E
(
X
)
E
(
Z
)
+
E
(
Z
2
)
≤
P
+
N
{\displaystyle E(Y^{2})=E((X+Z)^{2})=E(X^{2})+2E(X)E(Z)+E(Z^{2})\leq P+N\,\!}
이 경계에서 우리는 차분 엔트로피의 속성으로부터 다음을 추론한다.
h
(
Y
)
≤
1
2
log
(
2
π
e
(
P
+
N
)
)
{\displaystyle h(Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))\,\!}
따라서 채널 용량은 상호정보 에 대해 달성 가능한 가장 높은 경계로 주어진다.
I
(
X
;
Y
)
≤
1
2
log
(
2
π
e
(
P
+
N
)
)
−
1
2
log
(
2
π
e
N
)
{\displaystyle I(X;Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))-{\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!}
여기서
I
(
X
;
Y
)
{\displaystyle I(X;Y)}
X
∼
N
(
0
,
P
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,P)\,\!}
따라서 AWGN 채널에 대한 채널 용량
C
{\displaystyle C}
C
=
1
2
log
(
1
+
P
N
)
{\displaystyle C={\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)\,\!}
메시지를
1
{\displaystyle 1}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
n
{\displaystyle n}
R
{\displaystyle R}
R
=
log
M
n
{\displaystyle R={\frac {\log M}{n}}\,\!}
오류의 최대 확률이
n
{\displaystyle n}
C
{\displaystyle C}
잡음 레벨
N
{\displaystyle N}
n
{\displaystyle n}
N
{\displaystyle N}
n
(
N
+
ε
)
{\textstyle {\sqrt {n(N+\varepsilon )}}}
각 코드워드 벡터에는 그에 따라 디코딩되는 수신 코드워드 벡터의 구가 연결되어 있으며, 이러한 각 구는 코드워드에 고유하게 매핑되어야 한다. 따라서 이 구들은 교차하지 않아야 하므로, 구체 패킹 문제에 직면한다.
n
{\displaystyle n}
n
(
P
+
N
)
{\displaystyle n(P+N)}
n
(
P
+
N
)
{\textstyle {\sqrt {n(P+N)}}}
n
N
{\displaystyle {\sqrt {nN}}}
r
n
{\displaystyle r^{n}}
(
n
(
P
+
N
)
)
n
/
2
(
n
N
)
n
/
2
=
2
(
n
/
2
)
log
(
1
+
P
/
N
)
{\displaystyle {\frac {(n(P+N))^{n/2}}{(nN)^{n/2}}}=2^{(n/2)\log \left(1+P/N\right)}\,\!}
이러한 논증에 따르면, 속도 R은
1
2
log
(
1
+
P
N
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)}
이 섹션에서는 지난 섹션에서 다룬 속도 상한의 달성 가능성을 보여준다.
인코더와 디코더 모두에게 알려진 코드북은 길이 n, i.i.d. 가우스 분포를 따르며 분산
P
−
ε
{\displaystyle P-\varepsilon }
수신된 메시지는 고유하게 공동으로 전형적인 코드북의 메시지로 디코딩된다. 그러한 메시지가 없거나 전력 제약이 위반되면 디코딩 오류가 선언된다.
메시지
i
{\displaystyle i}
X
n
(
i
)
{\displaystyle X^{n}(i)}
Y
n
{\displaystyle Y^{n}}
사건
U
{\displaystyle U}
P
{\displaystyle P}
사건
V
{\displaystyle V}
사건
E
j
{\displaystyle E_{j}}
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
전형 집합
A
ε
(
n
)
{\displaystyle A_{\varepsilon }^{(n)}}
(
X
n
(
j
)
,
Y
n
)
{\displaystyle (X^{n}(j),Y^{n})}
따라서
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
E
i
{\displaystyle E_{i}}
P
(
U
)
{\displaystyle P(U)}
점근적 등분포 특성 에 따라
P
(
V
)
{\displaystyle P(V)}
n
{\displaystyle n}
P
(
U
)
{\displaystyle P(U)}
P
(
V
)
{\displaystyle P(V)}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
X
n
(
i
)
{\displaystyle X^{n}(i)}
X
n
(
j
)
{\displaystyle X^{n}(j)}
X
n
(
i
)
{\displaystyle X^{n}(i)}
Y
n
{\displaystyle Y^{n}}
P
(
E
j
)
=
2
−
n
(
I
(
X
;
Y
)
−
3
ε
)
{\displaystyle P(E_{j})=2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon )}}
P
e
(
n
)
{\displaystyle P_{e}^{(n)}}
P
e
(
n
)
≤
P
(
U
)
+
P
(
V
)
+
∑
j
≠
i
P
(
E
j
)
≤
ε
+
ε
+
∑
j
≠
i
2
−
n
(
I
(
X
;
Y
)
−
3
ε
)
≤
2
ε
+
(
2
n
R
−
1
)
2
−
n
(
I
(
X
;
Y
)
−
3
ε
)
≤
2
ε
+
(
2
3
n
ε
)
2
−
n
(
I
(
X
;
Y
)
−
R
)
≤
3
ε
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}^{(n)}&\leq P(U)+P(V)+\sum _{j\neq i}P(E_{j})\\&\leq \varepsilon +\varepsilon +\sum _{j\neq i}2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon )}\\&\leq 2\varepsilon +(2^{nR}-1)2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon )}\\&\leq 2\varepsilon +(2^{3n\varepsilon })2^{-n(I(X;Y)-R)}\\&\leq 3\varepsilon \end{aligned}}}
따라서 n이 무한대로 접근함에 따라
P
e
(
n
)
{\displaystyle P_{e}^{(n)}}
R
<
I
(
X
;
Y
)
−
3
ε
{\displaystyle R<I(X;Y)-3\varepsilon }
여기서는 용량
C
=
1
2
log
(
1
+
P
N
)
{\displaystyle C={\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)}
코드북에 대해 전력 제약이 충족되고, 메시지가 균일 분포를 따른다고 가정하자.
W
{\displaystyle W}
W
^
{\displaystyle {\hat {W}}}
W
⟶
X
(
n
)
(
W
)
⟶
Y
(
n
)
⟶
W
^
{\displaystyle W\longrightarrow X^{(n)}(W)\longrightarrow Y^{(n)}\longrightarrow {\hat {W}}}
파노의 부등식 을 사용하면 다음을 얻는다.
H
(
W
∣
W
^
)
≤
1
+
n
R
P
e
(
n
)
=
n
ε
n
{\displaystyle H(W\mid {\hat {W}})\leq 1+nRP_{e}^{(n)}=n\varepsilon _{n}}
P
e
(
n
)
→
0
{\displaystyle P_{e}^{(n)}\rightarrow 0}
ε
n
→
0
{\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
n
R
=
H
(
W
)
=
I
(
W
;
W
^
)
+
H
(
W
∣
W
^
)
≤
I
(
W
;
W
^
)
+
n
ε
n
≤
I
(
X
(
n
)
;
Y
(
n
)
)
+
n
ε
n
=
h
(
Y
(
n
)
)
−
h
(
Y
(
n
)
∣
X
(
n
)
)
+
n
ε
n
=
h
(
Y
(
n
)
)
−
h
(
Z
(
n
)
)
+
n
ε
n
≤
∑
i
=
1
n
h
(
Y
i
)
−
h
(
Z
(
n
)
)
+
n
ε
n
≤
∑
i
=
1
n
I
(
X
i
;
Y
i
)
+
n
ε
n
{\displaystyle {\begin{aligned}nR&=H(W)\\&=I(W;{\hat {W}})+H(W\mid {\hat {W}})\\&\leq I(W;{\hat {W}})+n\varepsilon _{n}\\&\leq I(X^{(n)};Y^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&=h(Y^{(n)})-h(Y^{(n)}\mid X^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&=h(Y^{(n)})-h(Z^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}h(Y_{i})-h(Z^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}I(X_{i};Y_{i})+n\varepsilon _{n}\end{aligned}}}
P
i
{\displaystyle P_{i}}
P
i
=
1
2
n
R
∑
w
x
i
2
(
w
)
{\displaystyle P_{i}={\frac {1}{2^{nR}}}\sum _{w}x_{i}^{2}(w)\,\!}
여기서 합은 모든 입력 메시지
w
{\displaystyle w}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
Z
i
{\displaystyle Z_{i}}
N
{\displaystyle N}
Y
i
{\displaystyle Y_{i}}
E
(
Y
i
2
)
=
P
i
+
N
{\displaystyle E(Y_{i}^{2})=P_{i}+N\,\!}
그리고,
Y
i
{\displaystyle Y_{i}}
h
(
Y
i
)
≤
1
2
log
2
π
e
(
P
i
+
N
)
{\displaystyle h(Y_{i})\leq {\frac {1}{2}}\log {2\pi e}(P_{i}+N)\,\!}
그러므로,
n
R
≤
∑
(
h
(
Y
i
)
−
h
(
Z
i
)
)
+
n
ε
n
≤
∑
(
1
2
log
(
2
π
e
(
P
i
+
N
)
)
−
1
2
log
(
2
π
e
N
)
)
+
n
ε
n
=
∑
1
2
log
(
1
+
P
i
N
)
+
n
ε
n
{\displaystyle {\begin{aligned}nR&\leq \sum (h(Y_{i})-h(Z_{i}))+n\varepsilon _{n}\\&\leq \sum \left({\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P_{i}+N))-{\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\right)+n\varepsilon _{n}\\&=\sum {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P_{i}}{N}}\right)+n\varepsilon _{n}\end{aligned}}}
x에 대한 오목(아래로 볼록) 함수인
log
(
1
+
x
)
{\displaystyle \log(1+x)}
1
n
∑
i
=
1
n
1
2
log
(
1
+
P
i
N
)
≤
1
2
log
(
1
+
1
n
∑
i
=
1
n
P
i
N
)
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P_{i}}{N}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}}\right)\,\!}
각 코드워드는 개별적으로 전력 제약을 만족하므로, 평균 또한 전력 제약을 만족한다. 그러므로,
1
n
∑
i
=
1
n
P
i
N
,
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}},\,\!}
이것을 위 부등식을 단순화하는 데 적용하면 다음과 같다.
1
2
log
(
1
+
1
n
∑
i
=
1
n
P
i
N
)
≤
1
2
log
(
1
+
P
N
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right).\,\!}
따라서
R
≤
1
2
log
(
1
+
P
N
)
+
ε
n
{\displaystyle R\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)+\varepsilon _{n}}
ε
n
→
0
{\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0}
잡음이 있는 코사인 파의 영점 교차 직렬 데이터 통신에서 AWGN 수학 모델은 무작위 지터 (RJ)로 인한 타이밍 오차를 모델링하는 데 사용된다.
오른쪽 그래프는 AWGN과 관련된 타이밍 오차의 예시를 보여준다. 변수 Δt는 영점 교차에서의 불확실성을 나타낸다. AWGN의 진폭이 증가하면 신호 대 잡음비 가 감소한다. 이는 Δt의 불확실성을 증가시킨다.[ 1]
AWGN의 영향을 받을 때, 입력이 사인파일 때 협대역 통과 필터 출력에서 초당 양수 또는 음수 영점 교차의 평균 수는 다음과 같다.
positive zero crossings
second
=
negative zero crossings
second
=
f
0
SNR
+
1
+
B
2
12
f
0
2
SNR
+
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\text{positive zero crossings}}{\text{second}}}={\frac {\text{negative zero crossings}}{\text{second}}}\\[8pt]={}&f_{0}{\sqrt {\frac {{\text{SNR}}+1+{\frac {B^{2}}{12f_{0}^{2}}}}{{\text{SNR}}+1}}},\end{aligned}}}
여기서
ƒ0 = 필터의 중심 주파수,
B = 필터 대역폭,
SNR = 선형 항으로 표시된 신호 대 잡음 전력비. 페이저 영역의 AWGN 기여 현대 통신 시스템에서 대역 제한 AWGN은 무시할 수 없다. 페이저 (전자) 영역에서 대역 제한 AWGN을 모델링할 때 통계 분석에 따르면 실제 및 허수 기여의 진폭은 정규 분포 모델을 따르는 독립 변수임이 밝혀졌다. 결합될 때, 결과 페이저의 크기는 레일리 분포 를 따르는 무작위 변수이며, 위상은 0에서 2π까지 균일하게 분포한다.
오른쪽 그래프는 대역 제한 AWGN이 코히어런트 반송파 신호에 어떻게 영향을 미칠 수 있는지에 대한 예시를 보여준다. 잡음 벡터의 순간 응답은 정확하게 예측할 수 없지만, 시간 평균 응답은 통계적으로 예측할 수 있다. 그래프에 표시된 바와 같이, 우리는 잡음 페이저가 1σ 원 안에 약 38%의 시간 동안, 2σ 원 안에 약 86%의 시간 동안, 그리고 3σ 원 안에 약 98%의 시간 동안 존재할 것이라고 확신 있게 예측한다.[ 1]
↑ 가 나 McClaning, Kevin, 《Radio Receiver Design》, Noble Publishing Corporation
![{\displaystyle {\begin{aligned}&I(X;Y)=h(Y)-h(Y\mid X)\\[5pt]={}&h(Y)-h(X+Z\mid X)\\[5pt]={}&h(Y)-h(Z\mid X)\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48065da1f590b68c2a3a7ab7dc62faf7c7d8bdd6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\text{positive zero crossings}}{\text{second}}}={\frac {\text{negative zero crossings}}{\text{second}}}\\[8pt]={}&f_{0}{\sqrt {\frac {{\text{SNR}}+1+{\frac {B^{2}}{12f_{0}^{2}}}}{{\text{SNR}}+1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb3b89cd4e90b5bd3951b14cc24fe5607364855)
