전곡률: 두 판 사이의 차이
새 문서: 섬네일|300x300픽셀|이 곡선은 전곡률이 6{{Pi}} 이고 지표/회전 수는 3이지만 {{수학 변수|p}}에 대한 [[감김 수는 2이다.]] 곡선의 미분 기하학에서 몰입된 평면 곡선의 '''전곡률'''은 호 길이 매개화 곡선을 따른 곡률의 적분이다. : <math>\int_a^b k(s)\,ds = 2\pi N.</math> 닫힌 곡선의 전곡률은 항상 2{{Pi}}의 정수 ''N''배이... |
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2023년 11월 29일 (수) 17:17 판
곡선의 미분 기하학에서 몰입된 평면 곡선의 전곡률은 호 길이 매개화 곡선을 따른 곡률의 적분이다.
닫힌 곡선의 전곡률은 항상 2π의 정수 N배이다. 여기서 N은 곡선의 지표 또는 회전수라고 한다. 이는 원점에 대한 단위 접벡터의 감김 수 또는 동등하게 곡선의 각 점에 할당된 단위원에 해당 점의 단위 속도 벡터를 지정하는 사상의 브라우어 차수이다. 이 사상은 곡면에 대한 가우스 사상과 비슷하다.
곡면과의 비교
국소적인 기하 불변량인 곡률과 전역적인 위상 불변량인 지표 사이의 이러한 관계는 가우스-보네 정리 와 같은 고차원 리만 기하학 결과의 특징이다.
불변성
휘트니-그라우슈타인 정리에 따르면 전곡률은 곡선의 정규 호모토피 하에서 불변이다. 이는 가우스 사상의 차수이다. 그러나 호모토피 하에서는 불변이 아닙니다. 꼬임(뾰족한 끝)을 통과하면 회전 수가 1씩 변경된다.
이에 반해, 점 주위의 감김 수는 그 점을 통과하지 않는 호모토피에서는 불변이고, 점을 통과하면 1씩 변한다.
일반화
유한한 일반화는 삼각형 또는 보다 일반적으로 단순 다각형의 외부 각도를 더하면 360°=2π가 된다는 것이다. 이는 회전수 1에 해당한다.
곡선의 절대 전곡률은 전곡률과 거의 같은 방식으로 정의되지만 부호 있는 곡률 대신 곡률의 절대값을 사용한다. 평면의 볼록한 곡선의 경우 π 이고 볼록하지 않은 곡선의 경우 더 크다. [1] 또한 γ에 전개 가능한 접선을 평면으로 편평화하고 결과 곡선의 전곡률을 계산하여 더 높은 차원 공간의 곡선으로 일반화할 수 있습니다. 즉, n차원 공간에서 곡선의 전곡률은 다음과 같습니다.
여기서 κn−1은 마지막 프레네 곡률(곡선의 비틀림)이고 sgn은 부호 함수이다.
주어진 매듭을 나타내는 3차원 곡선의 최소 절대 전곡률은 매듭 불변량이다. 이 불변량은 매듭이 없는 매듭의 경우 π 값을 갖지만 페리-밀너 정리에 따르면 다른 매듭의 경우 최소 π 이다. [2]
각주
- ↑ Chen, Bang-Yen (2000), 〈Riemannian submanifolds〉, 《Handbook of differential geometry, Vol. I》, North-Holland, Amsterdam, 187–418쪽, doi:10.1016/S1874-5741(00)80006-0, MR 1736854
- ↑ Milnor, John W. (1950), “On the Total Curvature of Knots”, 《Annals of Mathematics》, Second Series 52 (2): 248–257, doi:10.2307/1969467, JSTOR 1969467
추가 읽기
- Kuhnel, Wolfgang (2005), 《Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds》 2판, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3988-1 (translated by Bruce Hunt)
- Sullivan, John M. (2008), 〈Curves of finite total curvature〉, 《Discrete differential geometry》, Oberwolfach Semin. 38, Birkhäuser, Basel, 137–161쪽, arXiv:math/0606007, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_7, MR 2405664, S2CID 117955587