행렬

수학에서, 행렬(行列, matrix)은 수나 기호, 수식 등을 네모꼴로 배열한 것으로, 괄호로 묶어 표시한다. 행렬의 각 항들은 원소(elements) 또는 성분이라고 한다. 여섯 개의 원소를 가진 행렬을 예로 들면 다음과 같다.

{\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&55&-6\end{bmatrix}}.

같은 크기의 행렬이면 대응하는 원소끼리 서로 더하거나 뺄 수 있다. 행렬을 곱하는 방법은 좀 더 복잡하며, 앞선 행렬의 열의 수와 뒤선 행렬의 행의 수가 같을 때만이 곱셈이 정의된다. 행렬은 주로 선형 변환을 표시하는 데 적용된다. 선형 변환이란 f(x) = 4x 과 같은 선형 함수를 일반화한 것으로, 삼차원 공간 벡터의 회전 등이 선형 변환이다. R이 회전 행렬, v이 점의 위치를 나타내는 열벡터(한 개의 열로 된 행렬)라고 하면, 그 곱 Rv은 회전 후의 위치를 나타내는 열벡터가 된다. 두 행렬의 곱은 두 개의 선형 변환으로 구성된 행렬이 되는 것이다. 행렬은 또한 선형연립방정식을 풀이하는 데도 적용된다. 행렬이 정사각행렬일 경우에는 그 행렬식을 계산함으로써 몇 가지 성질을 알아낼 수 있는데, 예를 들어 행렬식을 계산한 값이 0이 아니라면 그 행렬은 역행렬을 가진다고 말할 수 있다. 선형 변환에 대해서는 고유벡터라 불리는 행렬과 그 고유값을 찾아냄으로서 간단히 기하학적 통찰을 얻어내기도 한다.

행렬은 과학의 곳곳에서 그 응용 분야가 발견된다. 물리학에서는 전기 회로, 광학, 양자 역학 등에서 쓰이고, 컴퓨터 그래픽스에서는 3차원 이미지를 2차원 평면에 투영하거나 사실적인 움직임을 그려내기 위해서 사용한다. 행렬 미적분학의 발견으로 미분이나 지수 함수 같은 고전 해석학적 개념을 더 높은 차원으로 일반화시키기도 했다.

수치 해석학의 한 분과에서는 몇 세기 전부터 수학자들이 관심가져 왔던 더 효율적인 행렬 계산법 알고리즘을 개발하는 데 헌신하고 있다. 행렬 분해법(Matrix decomposition methods)은 행렬의 계산을 이론과 실응용 부문 모두에서 단순화시켰고, 특정한 구조의 행렬에 맞춤화된 알고리즘(예: 희소행렬, 대각행렬 등)은 유한요소법 및 다른 계산 분야에 진척을 가져왔다. 행성 이론이나 원자론에서는 무한 행렬도 등장하는데, 함수의 테일러 전개에 작용하는 미분 연산자의 행렬이 그 예다.

정의

행렬이란 식이나 기호, 간단히는 정수 따위를 네모꼴로 배열한 것이다. 예를 들어

{\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}

는 행렬이다. 행렬을 표시하기 위한 괄호는 위에서와 같이 주로 대괄호 []나 소괄호 ()를 사용하며, 행렬을 나타내는 기호는 특별히 수와 구별하기 위해 굵은 글씨체를 자주 사용한다. 행렬의 가로줄을 ‘행’(行)이라고 하고, 세로줄을 ‘열’(列)이라고 한다. 또한 행 또는 열들을 분리하여 각각 하나의 행렬로 쓴 것을 ‘행벡터’(row vector) 또는 ‘열벡터’(column vector)라 한다. 예를 들어 위의 행렬에서는

{\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}

,

{\begin{bmatrix}4&5&6\end{bmatrix}}

가 행벡터,

{\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}}

,

{\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}

,

{\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}}

가 열벡터가 된다.

위의 예에선 행렬이 두 개의 행과 세 개의 열로 이루어져 있음을 볼 수 있는데 행과 열의 수를 특별히 강조하여 나타낼 때는 2×3 행렬이라고 부른다. 일반적으로, 어떤 행렬이 m개의 행과 n개의 열로 구성되어 있으면 m×n 행렬이라고 부른다. 그리고 행렬의 i번째 행, j번째 열에 있는 수를 행렬의 (i,j) 성분 또는 (i,j) 항이라 한다. 행벡터는 1×n 행렬, 열벡터는 m×1 행렬이라고 할 수 있다. 행 수와 열 수가 같은 항, 즉 (i, i)번째 항은 ‘대각항’(diagonal entry)이라고도 한다.

특별히, 행과 열의 수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)이라고 한다. 행렬의 크기를 나타내줄 때는 ‘n차’ 정사각행렬이라고 부른다.

표시법

행렬은 스칼라와 구별하기 위해 주로 굵은 글씨체의 영문 대문자를 사용하여 나타낸다. 소문자는 행렬의 성분을 나타낼 때 쓰인다. 즉, 행렬 $\mathbf {A}$ 의 $(i,j)$ 성분은 $a_{ij}$ 로 나타낸다. 다른 표시법으로 함수처럼 이를 나타내는 $\mathbf {A} [i,j]$ , 그냥 단순히 아래 첨자를 추가하는 $\mathbf {A} _{ij}$ , 소문자 대신 굵지 않은 글씨체를 사용하는 ${A}_{ij}$ 도 있다. 행렬에서 특별히 성분을 강조하여 나타낼 때는