피타고라스 정리

피타고라스의 정리(문화어: 세평방 정리)는 직각삼각형의 세 변의 관계를 나타내는 기본 정리이다. 이 정리는 평평한 평면, 즉 유클리드 공간 위에서 성립하며, 그 내용은 다음과 같다.

임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

이때 빗변의 길이를 $c$, 다른 두 변의 길이를 각각 $a,b$라고 하면 다음과 같은 식으로 쓸 수 있다.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

이것은 직각삼각형의 두 밑변의 길이를 알면 그로부터 나머지 한 변의 길이를 계산할 수 있음을 의미한다.

피타고라스의 정리는 이미 고대이집트와 같은 문명도시에서 토지 등을 측량할때 이러한 관계를 이용했던 여러 흔적으로볼때, 피타고라스가 이를 처음 발견한것으로 보기는 어렵다.

그러나 이를 그리스의 수학자 피타고라스가 최초로 수학적으로 증명한 것에 수학적 의의가 있으므로 그의 이름을 따서, 이 성질을 피타고라스의 정리라고 정의했다.

공식의 표현

c를 직각삼각형의 빗변의 길이, a와 b를 각각 나머지 두 변의 길이라 하면, 다음과 같이 공식으로 나타낼 수 있다.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

또는, c에 대하여 풀이하면 다음과 같다.

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

단,위에서 c는 거리의 개념이므로 반드시 양수이어야한다.

c를 알고 있고, 두 변 중 하나의 길이를 알아야 한다면, 다음과 같이 구할 수 있다.

$c^{2}-a^{2}=b^{2}\,$

또는

$c^{2}-b^{2}=a^{2}\,$

이 방정식으로 직각삼각형의 세 변에 대한 간단한 관계를 알 수 있으므로, 두 변의 길이를 알면 나머지 길이를 알아낼 수 있다. 이 공식을 일반화한 것이 코사인 법칙이며, 이를 이용하면 두 변의 길이와 그 사잇각을 알면 임의의 삼각형의 나머지 변의 길이를 알아낼 수 있다. 두 변이 이루는 각이 직각인 경우 코사인의 법칙은 피타고라스의 원리로 간단히 정리된다.

증명

기하학적 증명

오른쪽 그림에서, H는 점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발이다. 이때 삼각형 ACH와 삼각형 ABC는 닮음이 되고, 비슷한 이유로 삼각형 CBH와 삼각형 ABC는 닮음이다. 따라서

$\mathrm {{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}} ,\,\ \mathrm {{\frac {CB}{AB}}={\frac {HB}{CB}}}$

이 성립한다. 이 두 식을 정리하면

${\begin{aligned}\mathrm {AC\times AC=AB\times AH} \\\mathrm {CB\times CB=AB\times HB} \end{aligned}}$

이 두 식을 더하면

$\mathrm {AC\times AC+CB\times CB=AB\times AH+AB\times HB=AB\times (AH+HB)=AB\times AB}$

이 되고, 따라서

$\mathrm {AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}}$

가 성립한다.

대수적 증명

오른쪽 그림에서 전체 정사각형의 한 변의 길이는 $(a+b)$이고, 따라서 넓이는 $(a+b)^{2}$이 된다.

이번에는 부분의 넓이를 각각 구해보면, 가운데 정사각형의 넓이는 $c^{2}$, 네 개의 직각삼각형의 넓이는 $\scriptstyle {\frac {ab}{2}}\times 4$가 된다.

따라서, 전체 넓이는 $\scriptstyle c^{2}+4\times {\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab$가 된다. 그러므로

${\begin{aligned}(a+b)^{2}&=c^{2}+2ab\\a^{2}+2ab+b^{2}&=c^{2}+2ab\\a^{2}+b^{2}&=c^{2}\end{aligned}}$

가 성립한다.

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml 이 페이지에 들어가면 피타고라스의 정리 증명법 96개가 나와 있다.

역

피타고라스 정리의 역 또한 참이다.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$을 만족하는 임의의 양수 $a$, $b$, $c$에 대해 세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$인 삼각형이 항상 존재하며, 변 $a$와 $b$사이의 끼인각은 항상 직각이므로 이 삼각형은 직각삼각형이다.

이는 유클리드의 《원론》에서도 찾아볼 수 있다. 이 명제는 코사인 제2법칙이나 귀류법으로 증명할 수 있다.

기타 특징

피타고라스의 정리에서, 변 a, b, c 가 모두 정수라면, a, b, c중에서 적어도 하나는 반드시 3의 배수이다. 귀류법을 이용하여 증명하면 다음과 같다.

만약 a, b, c 모두 3의 배수가 아닐 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$a=3m\pm 1,b=3n\pm 1,c=3l\pm 1$

피타고라스의 정리는 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 이므로 이에 따라 위의 값들을 대입하여 넣으면

$(3m\pm 1)^{2}+(3n\pm 1)^{2}=(3l\pm 1)^{2}$

위의 값들을 전개하면

$(9m^{2}\pm 6m+1)+(9n^{2}\pm 6n+1)=(9l^{2}\pm 6l+1)$

이를 정리하면

$3(3m^{2}+3n^{2}\pm 2m\pm 2n)+2=3(3l^{2}\pm 2l)+1$

좌변은 3으로 나누어서 2가 남지만 우변은 3으로 나누어서 1이 남으므로 모순이다. 따라서 a, b, c 중 하나는 3의 배수여야한다.

피타고라스의 삼중쌍을 얻는 방법. x^2+y^2=z^2에서 x=2st, y=s^2-t^2, z=s^2+t^2 이 때, gcd(s,t)=1, s와 t는 법 2에 대해 합동이 아니여야 함. 이 x,y,z에 적당한 정수들을 곱하여 삼중쌍을 무한히 생성가능하다.

같이 보기

• 피타고라스
• 드 가의 정리

참고 자료

• 수학사랑 피타고라스 정리 FAQ