평행사변형

정의에 따른 평행사변형의 그림

평면 기하에서 평행사변형(平行四邊形)은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이다. 유클리드 기하에서 평행사변형의 대변 또는 마주보는 두 변은 길이가 같고 대각의 크기가 같으며, 이는 유클리드 기하의 평행선 공준의 직접적인 결과이다. 3차원에서는 평행육면체가 대응된다.

성질

평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분 한다.

증명

$\triangle EAB$ 와 $\triangle ECD$ 에서 ${\overline {AB}}\parallel {\overline {DC}}$ 이므로

$\angle EAB=\angle ECD$ (엇각) ……(1)

$\angle EBA=\angle EDC$ (엇각) ……(2)

또, 평행사변형에서 대변의 길이는 같으므로

${\overline {AB}}={\overline {DC}}$ ……(3)

(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로

$\triangle EAB\equiv \triangle ECD$

$\therefore {\overline {EA}}={\overline {EC}},{\overline {EB}}={\overline {ED}}$ 이다.

두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다.

증명

$\triangle ABC$ 와 $\triangle CDA$ 에서 ${\overline {AB}}\parallel {\overline {DC}}$ 이고 ${\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}}$ 이므로

$\angle BAC=\angle DCA$ (엇각) ……(1)

$\angle ACB=\angle CAD$ (엇각) ……(2)

${\overline {AC}}$ 는 공통인 변이다. ……(3)

(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로

$\triangle ABC\equiv \triangle DCA$

따라서

${\overline {AB}}={\overline {DC}},{\overline {AD}}={\overline {BC}}$

이다.

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

증명

${\overline {BC}}$ 를 C 방향으로 연장해서 그 위의 임의의 점을 E 라고하자.

$\angle D=\angle DCE=\angle B$ (동위각, 엇각)

같은 방법으로 $\angle A=\angle C$ 이다.

넓이

• 밑변의 길이를 $a$ 그에 대한 높이를 $h$라 하면,

$S=ah$

• 이웃하는 두 변을 각각 $a$ , $b$ 그 끼인각의 크기를 $\theta$라 하면,

$S=ab\sin \theta$

특징

대각선을 그은 평행사변형

• 평행사변형은 사다리꼴이다.
• 마름모와 직사각형은 평행사변형이다.
• 두 벡터의 합을 구할 때 평행사변형법이 사용된다. 오른쪽 그림에서, DC 벡터와 DA 벡터의 합벡터는 DB 벡터이다.

조건

• 사각형 ABCD가 평행사변형일 필요충분조건들은 다음과 같다.

두 쌍의 대변이 평행하다.(정의)

두 쌍의 대변의 길이가 같다.

두 쌍의 대각의 크기가 같다.

두 대각선이 서로를 이등분한다.

한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

종류

사각형의 종류

일반적인 사각형 사다리꼴 등변사다리꼴 연꼴 평행사변형 마름모 직사각형 정사각형