제1 범주 집합

일반위상수학에서, 제1 범주 집합(第一範疇集合, 영어: meager set, 영어: subset of the first category)은 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합의 합집합으로 나타내어질 수 있을 정도로 매우 작은 집합이다.

정의

위상 공간 $X$의 제1 범주 집합은 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합으로 나타낼 수 있는 집합이다.^:295 위상 공간 $X$의 제2 범주 집합(第二範疇集合, 영어: subset of the second category, 영어: nonmeager set)은 제1 범주 집합이 아닌 부분집합이다.

성질

제1 범주 집합의 부분 집합은 제1 범주 집합이다. 가산 개의 제1 범주 집합들의 합집합은 제1 범주 집합이다.

예

실수선 $\mathbb {R}$의 부분 집합으로서, 유리수의 집합 $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$는 제1 범주 집합이다. 반면, 무리수의 집합은 제1 범주 집합이 아니다. 또한, 유리수의 집합은 스스로의 부분 집합 $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q}$로서도 제1 범주 집합이다. 따라서, 유리수의 공간은 베르 공간이 아니다.

실수선의 부분 집합으로서, 칸토어 집합은 제1 범주 집합이다. 그러나 스스로의 부분 집합으로서 칸토어 집합은 베르의 범주 정리에 따라서 제1 범주 집합이 아니다.

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Meager set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “First category”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Residual set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Is there a measure zero set which isn't meagre?”. 

같이 보기

• 베르 공간
• 베르의 범주 정리