인수분해

대수론과 대수학에서, 인수 분해(因數分解, 영어: factorization)는 곱이 정의된 집합내의 어떤 원소를 다른 원소들의 곱으로 표현하는 것을 가리킨다. 특히, 정수집합에서 어떤 주어진 정수를 소수들의 곱으로 표현하는 것은 소인수 분해라고 부른다. 따라서 소인수 분해는 인수분해의 일종이 된다. 일반적으로는 한 다항식을 두 개 이상의 인수(factor)의 곱으로 분해하는 것을 말한다. 즉, 전개의 역이다.

예를 들어 $x^{2}+7x+12$의 경우 $(x+3)(x+4)$로 만드는 것을 말한다. 이와 반대로 $(x+3)(x+4)$을 $x^{2}+7x+12$로 만드는 것은 전개(expansion)라고 한다.

인수분해의 목적은 보통 어떤 원소를 더 기초적이고 간단한 조각으로 분해하는 데 있다. 예를 들어, 수를 소수들의 곱으로, 다항식을 인수분해 되지 않는 다항식으로 분해하는 것이다. 그리고 다항식의 경우는, 변수 $x$에 대하여 $x$가 근삿값 일 때, 근삿값을 참값에 가깝게 계산하기 위함과 방정식 등 을 풀기 위해 사용한다. 정수 집합에서는 산술의 기본 정리, 다항식의 집합에서는 대수학의 기본 정리와 관련이 있다. 그러나 모든 환에서 인수분해가 더 이상 분해되지 않는 원소들의 곱으로 유일하게 표현되는 것은 아니다. 유일한 인수분해가 성립하는 가환환을 유일 인수 분해 정역이라고 한다.

큰 정수의 소인수 분해는 매우 어려운 작업이다. 현재까지 충분히 빠른 속도로 이러한 작업을 수행하는 알고리즘이 알려져 있지 않으며, RSA 암호 알고리즘은 이를 근거로 작동한다.

정수의 인수 분해

 이 부분의 본문은 소인수 분해입니다.

산술의 기본정리에 의해 모든 정수는 순서를 제외하면 소수들의 곱으로 표현하는 방법이 유일하다.

다항식의 인수 분해

다항식의 계수(coefficient)의 집합을 어느 범위로 한정하느냐에 따라 소인수분해의 결과가 달라질 수 있다. 예를 들어, 계수를 유리수로 한정할 경우 $x^{2}-2$과 $x^{2}+2$는 모두 인수분해 되지 않으므로 기약다항식(Irreducible polynomial)이 된다. 그러나 실수로 확장하면 $x^{2}-2$는 $(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})$로 인수분해 되고, $x^{2}+2$는 여전히 기약다항식이 된다. 계수를 복소수로 더 확장하면 비로소 $x^{2}+2$는 $(x-{\sqrt {2}}i)(x+{\sqrt {2}}i)$로 인수분해 된다. 계수에 복소수를 허용하면 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 모든 복소계수 다항식이 일차식으로 항상 인수분해 가능하다.

이차식

이차식 $ax^{2}+bx+c$가 주어져 있을 때, 이 이차식의 값을 영으로 만드는 두 원소 $\alpha ,\beta$가 있다면 다음과 같이 인수분해 된다.

$a(x-\alpha )(x-\beta )$

또한 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 다음과 같이 계수로 표현가능하다.

${ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),}$

고차식

삼차, 사차식의 경우에는 근의 공식을 이용할 수도 있다. 그러나 계산과정이 길고 손으로 직접하기에는 어려움이 따른다.

특별한 고차식에 적용할 수 있는 다양한 테크닉들이 있는데, 이러한 몇몇 공식들은 중고교 교과과정에서 자주 등장한다. 예를 들어,

$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

$a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})$

$a^{4}+4b^{4}=(a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)$

와 같은 공식들이 있다. 이와 같은 공식들이 적용되지 않는다면 적당히 추측하는 방법을 동원하여 조립제법을 쓰는 경우도 있다.

위 공식을 사용하여 1보다 큰 모든 정수 n에 대해 $n^{4}+4^{n}$이 다음과 같이 항상 소수가 아님을 알 수 있다.(헝가리 Kürschák 경시대회 1978년 문제)

(증명) n이 짝수일 경우 $n^{4}+4^{n}$은 짝수이다. n이 홀수일 경우, $n^{4}+4^{n}=n^{4}+4\cdot 4^{2k}=n^{4}+4\cdot (2^{k})^{4}$이므로 역시 합성수가 된다.

잘 알려진 인수 분해 공식

모든 공식에 복부호 동순이 적용된다. 2차식

• $ma\pm mb=m(a\pm b)$
• $a^{2}\pm 2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}$
• $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
• $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
• $acx^{2}+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$
• $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^{2}$

3차식

• $a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}=(a\pm b)^{3}$
• $a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$
• $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)$
• $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=1/2(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$

4차식

• $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})$

같이 보기

• 곱셈 공식
• 곱셈 공식의 변형
• 유일 인수 분해 정역
• 산술의 기본 정리
• 대수학의 기본 정리