원 (기하학)

유클리드 기하학에서 원(圓) 또는 동그라미는 평면 상의 어떤 점에서 거리가 일정한 점들의 집합으로 정의되는 평면도형이다. 한편 직원뿔을 축과 수직으로 자르면 단면이 원이 되는데, 따라서 원은 원뿔 곡선의 일종이다. 또한 원과 같이 원뿔 곡선의 일종인, 타원의 두 초점이 일치하게 되면 원이 되면서, 이심율은 0이된다.

용어

반지름,지름,현,호

활꼴,부채꼴

• 반지름은 원의 중심과 원 위의 임의의 점까지의 선분, 또는 그 거리를 뜻한다.
• 원의 중심을 지나는 현은 지름이라고 한다. 지름의 길이는 반지름의 길이의 2배이다.
• 원주는 원의 둘레를 뜻한다.
• 현은 원주 상의 두 점을 잇는 선분이다. 가장 긴 현은 지름이다.
• 호는 원주 상의 두 점을 양 끝점으로 하는 원주의 연속된 일부이다.
• 활꼴은 같은 끝점을 갖는 호와 현으로 이루어져 있다.
• 부채꼴은 두 반지름과 같은 끝점을 갖는 한 호로 이루어져 있다. 부채꼴의 두 반지름의 끼인각을 중심각이라 한다. 원은 중심각이 360도인 부채꼴과 같다.
• '반원은 중심각이 180도인 부채꼴이고, 현이 지름인 활꼴이다.
• 원주각은 원주 상의 한 점에서 다른 두 점으로 선분의 끼인각이다. 원주각을 마주보는 현을 갖는 부채꼴의 중심각은 원주각의 두 배이다.
• 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이다.
• 할선은 원과 두 점에서 만나는 직선이다.

원주율

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원의 둘레를 원의 지름으로 나눈 값을 원주율이라 하고 그 값은 반지름에 관계없이 3.14159265…로 일정하며, 그리스 문자 $\pi \,$(파이)로 나타낸다.

둘레와 넓이

반지름의 길이를 r이라고 할 때

• 원주율의 정의에 의해 원 둘레는 $2\pi r\,$로 표현 할 수 있다.
• 원의 넓이는 $S=\pi r\,^{2}$이다.
• 원의 둘레가 $l=2\pi r$임을 이용하면 $l=2{\sqrt {\pi S}}$로 정리할 수 있다.
• 원은 모든 평면도형 중에서 둘레가 같을 경우 넓이가 가장 크다.

내접원

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내접원은 삼각형에 내접하는 원이다.

외접원

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외접원은 삼각형에 외접하는 원이다.

방접원

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방접원은 삼각형에 방접하는 원으로, 한 삼각형당 3개가 존재한다.

단위원

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중심이 원점이며 반지름이 1인 원을 단위원이라 한다.

동심원

같은 중심을 가지며 반지름이 다른 여러 개의 원을 동심원이라 한다. ≒한중심원

사분원

서로 직교하는 두 개의 지름으로 인해 4등분 된 원의 한 조각.

원의 방정식

2차원 직교 좌표계에서 $(a,b)=(1.2,-0.5)$가 원의 중심이고 $r$이 반지름인 원

2차원 직교 좌표계에서 원의 중심이$(a\,,b\,)$이고 반지름이 $r\,$인 원은

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r\,^{2}$ 이고, 이를 원의 방정식이라고 부른다.

이는 원의 중심에서 원주상의 임의의 한 점 까지의 거리가 항상 같음을 이용해 서로 다른 두 점 사이의 거리 공식으로 유도한 것이다.

원을 호도각에 따른 매개변수 t로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$x=a+r\,\cos t$

$y=b+r\,\sin t$, $(0\leq t<2\pi )$

접선의 방정식

• 원주상의 한 점 $(x\,_{1},y\,_{1})$에서 그은 접선의 방정식

$(x\,_{1}-a)(x\,-a)+(y\,_{1}-b)(y\,-b)=r\,^{2}$

• 기울기가 $m\,$인 접선의 방정식

$y\,-b=m\,(x\,-a)\pm {\sqrt {r\,^{2}(m\,^{2}+1)}}$

원의 극방정식

 극좌표계 § 원의 극좌표 방정식 문서를 참고하십시오.

극좌표계에서 원의 중심이 $(r_{0}\,,\varphi )$이고 반지름이 $a\,$인 원은

$r^{2}-2\cdot r\cdot r_{0}\cdot \cos(\theta -\varphi )+{r_{0}}^{2}=a^{2}$ 이고, 이를 원의 극방정식 이라고 한다.

원과 직선의 위치 관계

원의 중심에서 직선까지의 거리($d\,$)와 반지름($r\,$)의 대소 관계에 따라 교점의 개수를 판단 할 수 있다.

두 점에서 만날 경우

원과 직선이 두 점에서 만날 경우 원의 중심에서 직선까지의 거리는 반지름의 길이보다 작다

$d<r\$

한 점에서 만날 경우

원과 직선이 한 점에서 만날 경우, 접한다고 표현하며, 이 때 원의 중심에서 직선까지의 거리와 반지름의 길이는 같다.

$d=r\$

만나지 않을 경우

원과 직선이 만나지 않을 경우 원의 중심에서 직선까지의 거리는 반지름의 길이보다 크다.

$d>r\$

$d<r\$, 두 점에서 만날 경우

$d=r\$, 접할 경우

$d>r\$, 만나지 않을 경우

두 원의 위치 관계

두 원의 반지름$(R\,,r\,)$과, 중심 사이의 거리$(d\,)$에 따라 두 원의 위치 관계를 판단 할 수 있다.

두 점에서 만날 경우

두 원이 두 점에서 만날 경우, 중심 사이의 거리는 두 반지름의 합보다는 작고, 두 반지름의 차보다는 크다.

$\left|R\ -r\right|<d\,<R+r$

한 점에서 만날 경우

두 원이 한 점에서 만날 경우, 접한다고 표현하며, 두 원이 서로 외부에 있을 때 외접, 한 원이 다른 원의 내부에 있을 때 내접이라고 한다.

• 외접할 경우

두 원이 외접할 경우, 두 반지름의 합은 중심 사이의 거리와 같다.

$R\,+r\,=d\,$

• 내접할 경우

두 원이 내접할 경우, 두 반지름의 차는 중심 사이의 거리와 같다.

$\left|R\,-r\right|=d\,,(R\,\neq r\,)$

만나지 않을 경우

• 한 원이 다른 원의 내부에 포함 될 경우

한 원이 다른 원의 내부에 포함 될 경우, 두 반지름의 차는 중심 사이의 거리보다 크다.

$\left|R\,-r\right|>d\,,(R\,\neq r\,)$

• 두 원이 서로 외부에 있을 경우

두 원이 서로 외부에 있을 경우, 두 반지름의 합은 중심 사이의 거리보다 작다.

$R\,+r\,<d\,$

기타 성질

• 원주상의 한 점에서 원의 중심까지 잇는 선분과, 그 점의 접선은 수직이다.

• 중심각은 원주각의 2배이다.

• 호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다. 밑의 그림에서 $\theta _{1}:\theta _{2}=l_{1}:l_{2}$가 성립한다.

• 지름의 원주각은 90˚이다. 따라서 지름을 빗변으로 하는 내접삼각형은 항상 직각삼각형이다.

• 켤레호의 원주각의 합은 $180^{\circ }$이다. 따라서 내접사각형에서 마주보는 두 각의 합은 $180^{\circ }$이다. 아래의 그림에서 $\theta _{1}+\theta _{2}=180^{\circ }$가 성립한다.

• 내접사각형의 한 각과, 그 각의 대각의 외각의 크기는 서로 같다.

• 원주상의 같은 점을 지나는 접선과 현의 끼인각은, 현을 기준으로 그 각과 같은 쪽에 있는 호의, 원주각의 크기와 같다.

• 방멱의 정리

1. $a\cdot b=c\cdot d$

2. $a\cdot b=c^{2}$

역사

기원전 5세기경 안티폰은 정다각형의 변 수를 계속 늘려가면 결국엔 원이 된다고 생각했다. 이에 15세기 독일의 신학자 니콜라우스는 아무리 변을 늘려도 원이 될 수는 없다는 사상으로 반박했다.

문학

• 에드윈 A. 애보트의 공상 수학 소설 《플랫랜드》에서는 원이 성직자로 출현하며, 평면도형들 중 가장 고귀한 계급으로 여겨진다.

같이 보기

• 일각형
• 구
• 부채꼴
• 컴퍼스