사용자:Eric4266/연습장

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활동 선택 문제[편집]

전산학에서 활동 선택 문제수학적 최적화 문제로서 주어진 시간 안에 최대한 많은 활동을 겹치지 않게 선택하였을 때 최대 몇 개의 활동을 할 수 있는지 찾는 문제이다.

정의[편집]

n개의 활동 각각의 시작 시각 si와 끝나는 시각 fi가 주어진다. 이때 어떤 두 활동 i and jsifj이거나 sjfi 이면 두 활동은 겹치지 않는다고 정의한다. The activity selection problem consists in finding the maximal solution set (S) of non-conflicting activities, or more precisely there must exist no solution set S' such that |S'| > |S| in the case that multiple maximal solutions have equal sizes.

해결법[편집]

탐욕 알고리즘을 이용하여 해결한다. 활동 중에서 끝나는 시각이 가장 빠른 활동을 선택하는 과정을 반복한다.

  • 의사코드
끝나는 시각 f[i]를 기준으로 정렬
S = {1}
f = f[1]
for i=2 to n
if s[i] ≥ f
S = S U i
f = f[i]
end if

가중치가 있는 활동 선택 문제[편집]

가중치가 있는 활동 선택 문제에서는 각 활동에 가중치가 정해져 있다. 주어진 시간 안에 겹치지 않게 활동들을 선택하여 각 활동들의 가중치의 합이 가장 크도록 선택하였을 때 그 가중치를 구하는 문제이다.

이 문제는 활동 선택 문제와는 달리 탐욕 알고리즘으로 해결할 수 없고 동적 계획법을 활용하여 해결한다.

procedure WeightedActivitySelection( S : list of activities )
   sort s by finish time
   opt[0] = 0
   for i = 1 to n
     t = binary search to find activity with finish time <= start time for i
     opt[i] = MAX(opt[i-1], opt[t] + w(i))
   return opt[n]
end procedure

바깥 고리[편집]

0-1 배낭 문제[편집]

A similar dynamic programming solution for the 0/1 knapsack problem also runs in pseudo-polynomial time. Assume are strictly positive integers. Define to be the maximum value that can be attained with weight less than or equal to using items up to (first items).

We can define recursively as follows:

  • if (the new item is more than the current weight limit)
  • if .

The solution can then be found by calculating . To do this efficiently we can use a table to store previous computations.ii

The following is pseudo code for the dynamic program: <

// Input:
// Values (stored in array v)
// Weights (stored in array w)
// Number of distinct items (n)
// Knapsack capacity (W)
for j from 0 to W do
  m[0, j] := 0
end for 
for i from 1 to n do
  for j from 0 to W do
    if w[i] <= j then
      m[i, j] := max(m[i-1, j], m[i-1, j-w[i]] + v[i])
    else
      m[i, j] := m[i-1, j]
    end if
  end for
end for

This solution will therefore run in time and space. Additionally, if we use only a 1-dimensional array to store the current optimal values and pass over this array times, rewriting from to every time, we get the same result for only space.

카탈랑 수[편집]

응용[편집]

  • Cn is the number of monotonic lattice paths along the edges of a grid with n × n square cells, which do not pass above the diagonal. A monotonic path is one which starts in the lower left corner, finishes in the upper right corner, and consists entirely of edges pointing rightwards or upwards. Counting such paths is equivalent to counting Dyck words: X stands for "move right" and Y stands for "move up".

다음 그림은 n = 4일 때의 예시이다.

This can be succinctly represented by listing the Catalan elements by column height:[1]

[0,0,0,0][0,0,0,1][0,0,0,2][0,0,1,1]
[0,1,1,1] [0,0,1,2] [0,0,0,3] [0,1,1,2][0,0,2,2][0,0,1,3]
[0,0,2,3][0,1,1,3] [0,1,2,2][0,1,2,3]


캐번디시 실험[편집]

캐번디시 실험은 영국의 과학자 헨리 캐번디시에 의해 1797-98년에 행해진 실험이다. 실험실 안의 두 물체의 인력을 측정하여 중력 상수의 정확한 값을 측정하는 데 처음으로 성공하였다. 또한, 이 실험은 최초로 지구물리학 상수를 정확하게 측정한 실험이라고 할 수 있다. 하지만, 당시의 사용되던 단위 체계로 인하여 중력 상수의 값이 명확하게 측정되지는 못하였다. 실험의 결과는 지구의 질량에 관한 식으로 표현되었다. 캐번디시 실험은 1783년에 영국의 지진학자이자 천문학자인 존 미셸에 의해 창안되었으나 그가 1793년에 사망하면서 본인이 고안한 실험을 직접 실행하지 못하였다. 그의 모든 과학 장비들은 그가 오래 머물러 있었던 케임브리지의 퀸스 칼리지에 넘겨졌다. 이 장비들은 케임브리지의 교수이자 철학자였던 프랜시스 울러스턴을 거쳐 캐번디시에게 넘겨졌다. 캐번디시는 미셸의 비틀림 저울과 비슷하지만 새로운 장치를 직접 제작하여 실험을 수행하고 그 결과를 1798년 학술지에 게시하였다.

실험[편집]

캐번디시는 튼튼하고 가벼운 1.8m의 나무 막대에 지름이 약 51mm인 0.73kg의 작은 납 구슬을 양 끝에 매달고 막대 중심에 줄을 묶어 공중에 매달아 사용하였다. 그 후, 지름이 약 300mm인 158 kg)의 무거운 납 구슬 두 개를 작은 구슬과 230mm)의 짧은 거리를 유지하면서 움직일 수 있도록 공중에 매단 다음, 이 장치가 바람의 영향과 온도의 영향을 받지 않도록 하기 위해 약 0.61m 두께의 나무상자 속에 넣고 망원경을 이용해서 막대의 움직임을 측정하였다. 캐번디시와 이와 같이 조그만 오차도 발생시키지 않도록 노력했던 것은 이러한 비틀리는 힘의 값이 매우 작았기 때문이다.

그의 측정값보다 더 정밀한 측정값이 나온 것은 약 100년이 지난 1895년에서야 C. V. Boys에 의해서였다. 따라서 캐번디시의 실험은 동시대의 실행된 실험 중 매우 정밀했다고 볼 수 있다. 또한, 캐번디시가 실험을 수행하였던 비틀림 저울은 오랜 시간 동안 중력 상수를 측정하는 기구로 사용되었다. 실제로 1895년에 C. V. Boys가 중력 상수를 측정한 방법은 캐번디시의 방법과 매우 비슷하였다. 다만, 그는 물체 사이에서 일어날 수 있는 불필요한 상호 작용을 최소화하여 오차를 줄일 수 있었다.

중력 상수 값의 도출[편집]

기호의 정의
기호 단위 정의
굴절각
중력 상수
중력 가속도
지구의 질량
지구의 반지름
지구의 밀도

대폭발 이론을 뛰어넘는 물리적 추측[편집]

Speculative physics beyond the Big Bang theory[편집]

This is an artist's concept of the metric expansion of space, where space (including hypothetical non-observable portions of the universe) is represented at each time by the circular sections. Note on the left the dramatic expansion (not to scale) occurring in the inflationary epoch, and at the center the expansion acceleration. The scheme is decorated with WMAP images on the left and with the representation of stars at the appropriate level of development.

While the Big Bang model is well established in cosmology, it is likely to be refined. The equations of classical general relativity indicate a singularity at the origin of cosmic time, although this conclusion depends on several assumptions and the equations break down at any time before the Universe reached the Planck temperature. A correct treatment of quantum gravity may avoid the would-be singularity.[2]

It is not known what could have caused the singularity to come into existence (if it had a cause), or how and why it originated, though speculation abounds in the field of cosmogony. Some proposals, each of which entails untested hypotheses, are:

  • Models including the Hartle–Hawking no-boundary condition, in which the whole of space-time is finite; the Big Bang does represent the limit of time but without the need for a singularity.[3]
  • Big Bang lattice model, states that the Universe at the moment of the Big Bang consists of an infinite lattice of fermions, which is smeared over the fundamental domain so it has rotational, translational and gauge symmetry. The symmetry is the largest symmetry possible and hence the lowest entropy of any state.[4]
  • Brane cosmology models, in which inflation is due to the movement of branes in string theory; the pre-Big Bang model; the ekpyrotic model, in which the Big Bang is the result of a collision between branes and the cyclic model, a variant of the ekpyrotic model in which collisions occur periodically. In the latter model the Big Bang was preceded by a Big Crunch and the Universe cycles from one process to the other.[5][6][7]
  • Eternal inflation, in which universal inflation ends locally here and there in a random fashion, each end-point leading to a bubble universe, expanding from its own big bang.[8][9]

Proposals in the last two categories, see the Big Bang as an event in either a much larger and older universe or in a multiverse.

빅뱅 이론의 문제점을 보완하기 위하여 제안된 대체 가능한 이론으로 우주의 시작과 특이점은 존재하지 않으며 우주의 나이는 무한할 수 있다는 이론이 발표되었다.[10][11][12][13]


라플라스-룽에-렌츠 벡터[편집]

수학적 정의[편집]

Figure 1: The LRL vector A (shown in red) at four points (labeled 1, 2, 3 and 4) on the elliptical orbit of a bound point particle moving under an inverse-square central force. The center of attraction is shown as a small black circle from which the position vectors (likewise black) emanate. The angular momentum vector L is perpendicular to the orbit. The coplanar vectors p×L and (mk/r)r are shown in blue and green, respectively; these variables are defined below. The vector A is constant in direction and magnitude.

어떤 입자에 거리 제곱에 반비례하는 중심력 (예:중력, 전자기력 등)이 작용하고, 그 중심력이 다음 식으로 나타난다고 하자.

LRL 벡터 A 는 수학적으로 다음 공식으로 정의한다.[14]

여기서 기호는 다음과 같다.

  • : 중심력을 받는 입자의 질량
  • : 운동량 벡터
  • : 각운동량 벡터
  • : 중심력의 세기를 나타내는 수
  • : 중심력을 받는 입자의 위치 벡터
  • : 방향의 단위벡터

뢸로 삼각형[편집]

뢸로 삼각형

뢸로 삼각형삼각형 모양의 정폭도형으로 일반 다각형으로 확장해서 뢸로 다각형이라고 한다. 19세기 독일의 기계공학자 프란츠 뢸로의 이름에서 따왔다.

작도 방법[편집]

뢸로 삼각형을 작도하려면,

  1. 정삼각형을 그린다.
  2. 각 꼭짓점에서 다른 꼭짓점을 지나는 원호를 그린다.

뢸로 삼각형은 주어진 폭을 가진 도형 중에서 가장 면적이 작다. 폭이 인 뢸로 삼각형의 면적은 로, 같은 폭(지름)을 가진 면적의 90%보다도 작다. 또한 뢸로 삼각형은 기타피크에도 이용된다.

폭이 인 뢸로 삼각형의 둘레의 길이는 이다.

같이 보기[편집]

초타원[편집]

초타원(Superellipse) 또는 라메 곡선좌표평면에서 아래 조건을 만족하는 점의 집합이다. 단 n,a,b는 양의 실수이다.

이 곡선은 아래의 직사각형 영역에 내접한다. −ax ≤ +a and −b ≤ y ≤ +b

n이 0과 1 사이일때 이 곡선은 오목한 모양을 띄며 n이 0.5일때는 포물선으로 이뤄진 네 부분으로 구성된다. n이 1일때는 (±a, 0) 과 (0, ±b). 을 꼭짓점으로 가진 마름모가, n이 2일때는 타원이 된다. n이 무한히 커지면 직사각형에 근접하게 된다. n이 1이상으로 a=b인 경우 노름이 (x^n =y^n)^(1/n)으로 정의되는 Lp 공간공 (수학)의 경계가 된다. 아스트로이드는 n이 2/3인 초타원이다.

같이 보기[편집]

골드버그 다면체[편집]

골드버그 다면체는 볼록 다면체로 1937년에 마이클 골드버그(1902-1990)에 의해 고안되었다. 지오데식 돔과 쌍대다면체를 이루며 12개의 면을 제외한 모든 면이 등변육각형을 이루어져 있는 것이 특징이다.

골드버그 다면체

G(1,4)

G(4,4)

G(7,0)

G(5,3)

카발리에리의 원리[편집]

구의 부피[편집]

구에서의 원 모양 단면과 원기둥에서 원뿔을 뺀 도형의 도넛 모양 단면은 같은 크기이다.

카발리에리의 원리를 응용하여 구의 부피를 계산할 수 있다. 구에서의 원 모양 단면과 원기둥에서 원뿔을 뺀 도형의 도넛 모양 단면의 크기가 로 서로 같으므로 카발리에리의 원리에 따라 반구의 부피는 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 뺀 것과 같게 된다.

원기둥의 부피는 이고, 원뿔의 부피는 이므로 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 뺀 값은 이고 이것은 반구의 부피와 같게 된다. 구의 부피는 반구의 부피의 2배이므로 임을 알 수 있다.

사이클로이드[편집]

반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디와 x축 사이의 넓이 S 이다. 흔히 적분을 이용하여 증명하지만 카발리에리의 원리를 응용하여 증명하는 것도 가능하다.

두 개의 사이클로이드로 둘러싸인 영역과 원의 넓이는 서로 같다.

참고 문헌[편집]

N. Reed, "Elementary proof of the area under a cycloid", Mathematical Gazette, volume 70, number 454, December, 1986, pages 290–291

바깥 고리[편집]

참고 문헌[편집]

  1. ˇCrepinˇsek, Matej; Luka Mernik (2009). “AN EFFICIENT REPRESENTATION FOR SOLVING CATALAN NUMBER RELATED PROBLEMS” (PDF). 《International Journal of Pure and Applied Mathematics》 56 (4). 
  2. Hawking, S. W.; Ellis, G. F. R. (1973). 《The Large Scale Structure of Space-Time》. Cambridge (UK): Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. 
  3. Hartle, J. H.; Hawking, S. (1983). “Wave Function of the Universe”. 《Physical Review D28 (12): 2960. Bibcode:1983PhRvD..28.2960H. doi:10.1103/PhysRevD.28.2960. 
  4. Bird, P. (2011). “Determining the Big Bang State Vector” (PDF). 
  5. Langlois, D. (2002). “Brane Cosmology: An Introduction”. 《Progress of Theoretical Physics Supplement148: 181–212. arXiv:hep-th/0209261. Bibcode:2002PThPS.148..181L. doi:10.1143/PTPS.148.181. 
  6. Than, K. (2006). “Recycled Universe: Theory Could Solve Cosmic Mystery”. Space.com. 2007년 7월 3일에 확인함. 
  7. Kennedy, B. K. (2007). “What Happened Before the Big Bang?”. 2007년 7월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2007년 7월 3일에 확인함. 
  8. Linde, A. (1986). “Eternal Chaotic Inflation”. 《Modern Physics Letters A1 (2): 81. Bibcode:1986MPLA....1...81L. doi:10.1142/S0217732386000129. 
  9. Linde, A. (1986). “Eternally Existing Self-Reproducing Chaotic Inflationary Universe”. 《Physics Letters B175 (4): 395–400. Bibcode:1986PhLB..175..395L. doi:10.1016/0370-2693(86)90611-8. 
  10. “우주탄생 ‘빅뱅’은 없었다
  11. Ghose, Tia (2015년 2월 26일). “Big Bang, Deflated? Universe May Have Had No Beginning”. 《Live Science. 2015년 2월 28일에 확인함. 
  12. Ali, Ahmed Faraq (2015년 2월 4일). “Cosmology from quantum potential”. 《Physics Letters B741: 276–279. doi:10.1016/j.physletb.2014.12.057. 2015년 2월 28일에 확인함. 
  13. Das, Saurya; Bhaduri, Rajat K. (2014년 11월 18일). “Dark matter and dark energy from Bose-Einstein condensate” (PDF). 《arXiv. 2015년 2월 28일에 확인함. 
  14. Herbert Goldstein. 《Classical Mechanics》 2판. Addison Wesley. 102–105,421–422쪽.